Determine a expressão para a densidade de energia em função da distância radial r de um toróide de N voltas percorrido por uma corrente I .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a expressão da densidade de energia em função da distância radial num toróide com voltas e uma corrente . A gente vai usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente sobre campos magnéticos em toróides e a densidade de energia magnética.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo magnético B = mu0 N I2pi r dentro do toróide. Um toróide é basicamente uma bobina em forma de anel com voltas. A fórmula do campo magnético dentro dele é dada por:
Aqui, é a permeabilidade do vácuo, é o número de voltas, é a corrente e é a distância radial do centro do toróide.

Passo 3

Agora que temos o campo magnético, vamos calcular a densidade de energia u = 12mu0 B^2 . A densidade de energia magnética é dada por:
Isso significa que a energia armazenada no campo magnético por unidade de volume depende do quadrado do campo .

Passo 4

Vamos substituir a expressão do campo u = 12mu0 ( mu0 N I2pi r )^2 que encontramos no passo 2 na fórmula da densidade de energia:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
u = 12mu0 cdot mu0^2 N^2 I^24pi^2 r^2 = mu0 N^2 I^28pi^2 r^2

Resposta

A densidade de energia em função da distância radial u(r) = mu0 N^2 I^28pi^2 r^2 é:

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