Determine a expressão da derivada
-ésima em cada caso.
(b)
, com
e
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a função
, onde
é um número natural positivo e
e
são números reais não nulos. Nosso objetivo é encontrar a expressão para a derivada
-ésima dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender as regras de derivação de funções polinomiais e aplicar a regra da cadeia de forma repetida.
Passo 2
Vamos começar lembrando que a derivada de uma função do tipo
pode ser encontrada usando a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz como derivar uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função.
Passo 3
A primeira derivada de
é:
Aqui, usamos a regra da potência, onde trazemos o expoente para frente e diminuímos o expoente em 1. Multiplicamos também pela derivada da função interna
, que é
.
Passo 4
A segunda derivada será a derivada de
:
Continuamos aplicando a regra da cadeia, trazendo o próximo expoente para frente e multiplicando pela derivada da função interna novamente.
Passo 5
Seguindo esse padrão, podemos generalizar para a
-ésima derivada. A cada derivação, o expoente diminui em 1 e multiplicamos pelo coeficiente
. Assim, a fórmula geral fica:
Isso significa que estamos multiplicando todos os termos de
até
, multiplicando por
elevado à
-ésima potência e reduzindo o expoente de
em
.
Resposta
A derivada
-ésima de
é:
Exercícios relacionados
Determine
para as funções dadas a seguir.
(a)
(a)
Determine a expressão da derivada
-ésima em cada caso.
(a)
(a)
Determine
para as funções dadas a seguir.
(b)
(b)