Determine a expressão da derivada -ésima em cada caso.
(b) , com e

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a função , onde é um número natural positivo e e são números reais não nulos. Nosso objetivo é encontrar a expressão para a derivada -ésima dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender as regras de derivação de funções polinomiais e aplicar a regra da cadeia de forma repetida.

Passo 2

Vamos começar lembrando que a derivada de uma função do tipo pode ser encontrada usando a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz como derivar uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função.

Passo 3

A primeira derivada de é:
Aqui, usamos a regra da potência, onde trazemos o expoente para frente e diminuímos o expoente em 1. Multiplicamos também pela derivada da função interna , que é .

Passo 4

A segunda derivada será a derivada de :
Continuamos aplicando a regra da cadeia, trazendo o próximo expoente para frente e multiplicando pela derivada da função interna novamente.

Passo 5

Seguindo esse padrão, podemos generalizar para a -ésima derivada. A cada derivação, o expoente diminui em 1 e multiplicamos pelo coeficiente . Assim, a fórmula geral fica:
Isso significa que estamos multiplicando todos os termos de até , multiplicando por elevado à -ésima potência e reduzindo o expoente de em .

Resposta

A derivada -ésima de é:

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Determine para as funções dadas a seguir.
(a)
Determine a expressão da derivada -ésima em cada caso.
(a)
Determine para as funções dadas a seguir.
(b)