Determine a expressão da derivada -ésima em cada caso.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada n-ésima da função , onde é um número real diferente de zero. Isso significa que precisamos derivar essa função n vezes seguidas. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo, especialmente sobre derivadas de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a derivada de . A regra básica de derivação para funções exponenciais diz que:
Isso quer dizer que, ao derivar , multiplicamos a função original por .

Passo 3

Agora, se a gente der mais uma derivada, ou seja, a segunda derivada, ficaria assim:
Percebeu? Cada vez que derivamos, multiplicamos por mais um .

Passo 4

Seguindo essa lógica, se a gente der a terceira derivada, teremos:
E assim por diante. Cada derivada adiciona mais um fator à frente da função exponencial.

Passo 5

Então, para a derivada n-ésima, ou seja, quando derivamos vezes, o padrão continua. A cada derivação, multiplicamos por , repetindo isso vezes.

Resposta

A derivada n-ésima de é:

Exercícios relacionados

Determine a expressão da derivada -ésima em cada caso.
(b) , com e
Determine para as funções dadas a seguir.
(a)
Determine para as funções dadas a seguir.
(b)
Utilizando a regra da função composta (Regra da Cadeia), obtenha a derivada de cada função abaixo: