Determine a expressão da derivada
-ésima em cada caso.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada n-ésima da função
, onde
é um número real diferente de zero. Isso significa que precisamos derivar essa função n vezes seguidas. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo, especialmente sobre derivadas de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a derivada de
. A regra básica de derivação para funções exponenciais diz que:
Isso quer dizer que, ao derivar
, multiplicamos a função original por
.
Passo 3
Agora, se a gente der mais uma derivada, ou seja, a segunda derivada, ficaria assim:
Percebeu? Cada vez que derivamos, multiplicamos por mais um
.
Passo 4
Seguindo essa lógica, se a gente der a terceira derivada, teremos:
E assim por diante. Cada derivada adiciona mais um fator
à frente da função exponencial.
Passo 5
Então, para a derivada n-ésima, ou seja, quando derivamos
vezes, o padrão continua. A cada derivação, multiplicamos por
, repetindo isso
vezes.
Resposta
A derivada n-ésima de
é:
Exercícios relacionados
Determine a expressão da derivada
-ésima em cada caso.
(b) , com
e
(b)
Determine
para as funções dadas a seguir.
(a)
(a)
Determine
para as funções dadas a seguir.
(b)
(b)
Utilizando a regra da função composta (Regra da Cadeia), obtenha a derivada de cada função abaixo: