Determine para as funções dadas a seguir.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular para a função . Isso envolve derivadas de alta ordem, então vamos precisar entender como derivar uma função várias vezes e depois avaliar essas derivadas no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona a derivada de uma função polinomial como . A derivada de uma função polinomial é dada por . Isso significa que cada vez que derivamos, o expoente diminui em 1 e a expressão multiplicada pelo coeficiente aumenta de acordo com o expoente anterior.

Passo 3

Agora, vamos pensar nas derivadas de ordem mais alta. Quando derivamos 100 vezes, chegamos a uma constante, porque cada derivada diminui o expoente até chegarmos a . A 100ª derivada de é (fatorial de 100). Isso porque cada derivada multiplica o coeficiente pelo número correspondente ao expoente atual.

Passo 4

Mas e a 101ª derivada? Depois de derivar uma função constante, qualquer derivada adicional será zero. Então, .

Resposta

Portanto, .

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Determine a expressão da derivada -ésima em cada caso.
(a)
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(b) , com e
Utilizando a regra da função composta (Regra da Cadeia), obtenha a derivada de cada função abaixo:
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