Determine
para as funções dadas a seguir.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular
para a função
. Isso envolve derivadas de alta ordem, então vamos precisar entender como derivar uma função várias vezes e depois avaliar essas derivadas no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona a derivada de uma função polinomial como
. A derivada de uma função polinomial
é dada por
. Isso significa que cada vez que derivamos, o expoente diminui em 1 e a expressão multiplicada pelo coeficiente aumenta de acordo com o expoente anterior.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas derivadas de ordem mais alta. Quando derivamos
100 vezes, chegamos a uma constante, porque cada derivada diminui o expoente até chegarmos a
. A 100ª derivada de
é
(fatorial de 100). Isso porque cada derivada multiplica o coeficiente pelo número correspondente ao expoente atual.
Passo 4
Mas e a 101ª derivada? Depois de derivar uma função constante, qualquer derivada adicional será zero. Então,
.
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Determine a expressão da derivada
-ésima em cada caso.
(a)
(a)
Determine a expressão da derivada
-ésima em cada caso.
(b) , com
e
(b)
Utilizando a regra da função composta (Regra da Cadeia), obtenha a derivada de cada função abaixo:
Utilizando a regra da função composta (Regra da Cadeia), obtenha a derivada de cada função abaixo: