(valor:
) (3) Determinar os coeficientes
e a série de Fourier com representação exponencial do sinal:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os coeficientes
e a série de Fourier na forma exponencial do sinal:
Matéria envolvida: Séries de Fourier, especificamente a representação exponencial.
O que vamos precisar: Saber como quebrar um sinal em componentes exponenciais e encontrar os coeficientes correspondentes
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que qualquer sinal periódico pode ser representado como uma soma de funções exponenciais usando a série de Fourier. A forma geral da série de Fourier exponencial é:
Aqui,
é a frequência angular fundamental, e
são os coeficientes que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos identificar a frequência fundamental
do nosso sinal
. Olhando para as frequências presentes no sinal:
- Para
, a frequência angular é . - Para
, a frequência angular é .
A frequência fundamental é o menor múltiplo comum dessas frequências. Aqui,
.
Passo 4
Agora, vamos reescrever cada termo de
na forma exponencial usando as fórmulas de Euler:
-
Para a constante 33, ela pode ser representada como
, já que não varia com o tempo. -
Para
, usamos: Então: -
Para
, usamos: Então:
Passo 5
Agora, juntando tudo, temos:
Comparando com a série de Fourier exponencial:
Podemos identificar os coeficientes
.
Passo 6
Vamos associar cada termo de
aos
:
-
O termo constante:
-
Os termos com
(que é ): -
Os termos com
:
Passo 7
Resumindo, os coeficientes
são:
Para todos os outros valores de
, os coeficientes são zero.
Resposta
Os coeficientes da série de Fourier exponencial são:
Todos os demais
são iguais a zero. Assim, a série de Fourier exponencial do sinal é: