(valor: 20 % ) (3) Determinar os coeficientes ck e a série de Fourier com representação exponencial do sinal:
x^prime(t)=33+sen(10 pi t / 3)+2 cdot cos (20 pi t / 3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os coeficientes x^prime(t) = 33 + sin(10pi t3) + 2 cdot cos(20pi t3) e a série de Fourier na forma exponencial do sinal:
Matéria envolvida: Séries de Fourier, especificamente a representação exponencial.
O que vamos precisar: Saber como quebrar um sinal em componentes exponenciais e encontrar os coeficientes correspondentes .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que qualquer sinal periódico pode ser representado como uma soma de funções exponenciais usando a série de Fourier. A forma geral da série de Fourier exponencial é:
x(t) = sumk=-infty^infty ck e^jkomega0 t
Aqui, é a frequência angular fundamental, e são os coeficientes que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos identificar a frequência fundamental do nosso sinal . Olhando para as frequências presentes no sinal:
  • Para , a frequência angular é .
  • Para , a frequência angular é .
A frequência fundamental é o menor múltiplo comum dessas frequências. Aqui, .

Passo 4

Agora, vamos reescrever cada termo de sin(omega t) = e^jomega t - e^-jomega t2j na forma exponencial usando as fórmulas de Euler:
  • Para a constante 33, ela pode ser representada como sin(10pi t3) = e^j10pi t3 - e^-j10pi t32j , já que não varia com o tempo.
  • Para cos(omega t) = e^jomega t + e^-jomega t2 , usamos:
    2 cdot cos(20pi t3) = 2 cdot e^j20pi t3 + e^-j20pi t32 = e^j20pi t3 + e^-j20pi t3
    Então:
  • Para , usamos:
    Então:

Passo 5

Agora, juntando tudo, temos:
x^prime(t) = 33 cdot e^j0t + e^j10pi t3 - e^-j10pi t32j + e^j20pi t3 + e^-j20pi t3
Comparando com a série de Fourier exponencial:
x(t) = sumk=-infty^infty ck e^jkomega0 t
Podemos identificar os coeficientes .

Passo 6

Vamos associar cada termo de 33 cdot e^j0t Rightarrow c0 = 33 aos 12j e^j10pi t3 Rightarrow c1 = 12j :
  • O termo constante:
    -12j e^-j10pi t3 Rightarrow c-1 = -12j
  • Os termos com e^j20pi t3 Rightarrow c2 = 1 (que é e^-j20pi t3 Rightarrow c-2 = 1 ):
  • Os termos com :

Passo 7

Resumindo, os coeficientes c0 = 33 são:
cpm1 = pm 12j
cpm2 = 1
Para todos os outros valores de , os coeficientes são zero.

Resposta

Os coeficientes da série de Fourier exponencial são:
c0 = 33
c1 = 12j, c-1 = -12j
c2 = 1, c-2 = 1
Todos os demais x^prime(t) = 33 + 12j e^j10pi t3 - 12j e^-j10pi t3 + e^j20pi t3 + e^-j20pi t3 são iguais a zero. Assim, a série de Fourier exponencial do sinal é:

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