Determine expressões para os os vetores unitários m e n em função do ângulo phi e dos versores de base I, J e K

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos as expressões dos vetores unitários e em função do ângulo e dos versores de base , e . Isso está inserido no conteúdo de Vetores Unitários e Expressão em Termos de Versores de Base. Para resolver, vamos precisar entender como expressar vetores unitários usando ângulos e versores de base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um vetor unitário tem módulo igual a 1 e pode ser representado em termos dos versores de base multiplicados pelas componentes em cada direção. Se considerarmos que os vetores e estão em um plano definido pelos versores e , podemos expressá-los usando funções trigonométricas que envolvem o ângulo .

Passo 3

Para o vetor unitário m = cos(phi), I + sin(phi), J , assumimos que é o ângulo que forma com o versor (eixo x). Assim, podemos decompor nas direções e usando o cosseno e o seno desse ângulo, respectivamente. Matemáticamente:

Passo 4

Agora, para o vetor unitário n = -sin(phi), I + cos(phi), J , suponhamos que ele seja perpendicular a . Sabemos que, em um plano, um vetor perpendicular a terá as componentes com sinais invertidos de forma adequada. Assim, podemos expressar como:

Resposta

As expressões dos vetores unitários são:
m = cos(phi), I + sin(phi), J
n = -sin(phi), I + cos(phi), J

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