Encontre a equação do plano tangente à superfície gráfico da função o f(x, y) = x^2 + y^2 - x - y - x*y, no ponto onde a função tenha um valor extremo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície definida pela função no ponto onde a função alcança um valor extremo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e planos tangentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ponto onde a função tem um valor extremo. Para isso, calculamos as derivadas parciais da função em relação a e e as igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Agora, igualamos ambas a zero:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo na expressão de :
Então, o ponto onde a função tem um valor extremo é .

Passo 4

Agora que temos o ponto , vamos calcular o valor da função nesse ponto:
Para encontrar a equação do plano tangente, usamos a fórmula geral:
Mas como é um ponto de extremo, as derivadas parciais nesse ponto são zero:
Portanto, a equação do plano tangente simplifica para:

Resposta

A equação do plano tangente é .

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