Encontre a equação do plano tangente à superfície gráfico da função o
, no ponto onde a função tenha um valor extremo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície definida pela função
no ponto onde a função alcança um valor extremo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e planos tangentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o ponto onde a função
tem um valor extremo. Para isso, calculamos as derivadas parciais da função em relação a
e
e as igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Agora, igualamos ambas a zero:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo
na expressão de
:
Então, o ponto onde a função tem um valor extremo é
.
Passo 4
Agora que temos o ponto
, vamos calcular o valor da função nesse ponto:
Para encontrar a equação do plano tangente, usamos a fórmula geral:
Mas como
é um ponto de extremo, as derivadas parciais nesse ponto são zero:
Portanto, a equação do plano tangente simplifica para:
Resposta
A equação do plano tangente é
.
Exercícios relacionados
Determine a área de superfície da parte da superfície
que fica acima da região triangular
no plano
com vértice
e
.
Utilize coordenadas cilíndricas para calcular
Determine os extremos globais da função
sobre o conjunto compacto
.
Resp: Máximo nos pontos e
e Mínimo no ponto
.
Resp: Máximo nos pontos
Ache o volume do maior paralelepípedo que pode ser inscrito no elipsóide
cujas arestas sejam paralelos ao eixos coordenados.
Resp: Volume: .
Resp: Volume: