Determine a área de superfície da parte da superfície z = x^2 + 2y que fica acima da região triangular T no plano x y com vértice (0,0),(1,0) e 1,1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da parte da superfície definida pela equação que está acima de um triângulo no plano . Esse triângulo tem os vértices em , e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de área de superfície em cálculo multivariável, que envolve integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região no plano . Os vértices , e formam um triângulo retângulo. Para facilitar a integração, vamos descrever os limites de e . Observando os vértices, varia de 0 a 1. Para cada valor de entre 0 e 1, varia de 0 até (a linha que conecta a ).

Passo 3

Agora, vamos lembrar a fórmula para calcular a área de superfície de uma função sobre uma região no plano :
Á
Para a nossa função , precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da área:
Á

Passo 5

Agora, vamos configurar os limites da integral dupla. Como varia de 0 a 1 e varia de 0 a , a integral fica:
Á
Como a expressão não depende de , podemos simplificar a integral interna:
Então, a área fica:
Á

Passo 6

Vamos resolver a integral . Para isso, faremos uma substituição:
Deixe , então , ou seja, .
Substituindo:
Integrando:
Voltando para :

Passo 7

Agora, avaliamos a integral definida de 0 a 1:
Á
Calculando os valores:
Á

Resposta

A área da superfície é unidades de área.

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