Determine a área de superfície da parte da superfície
que fica acima da região triangular
no plano
com vértice
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da parte da superfície definida pela equação
que está acima de um triângulo
no plano
. Esse triângulo tem os vértices em
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de área de superfície em cálculo multivariável, que envolve integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
no plano
. Os vértices
,
e
formam um triângulo retângulo. Para facilitar a integração, vamos descrever os limites de
e
. Observando os vértices,
varia de 0 a 1. Para cada valor de
entre 0 e 1,
varia de 0 até
(a linha que conecta
a
).
Passo 3
Agora, vamos lembrar a fórmula para calcular a área de superfície de uma função
sobre uma região
no plano
:
Para a nossa função
, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 5
Agora, vamos configurar os limites da integral dupla. Como
varia de 0 a 1 e
varia de 0 a
, a integral fica:
Como a expressão
não depende de
, podemos simplificar a integral interna:
Então, a área fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral
. Para isso, faremos uma substituição:
Deixe
, então
, ou seja,
.
Substituindo:
Integrando:
Voltando para
:
Passo 7
Agora, avaliamos a integral definida de 0 a 1:
Calculando os valores:
Resposta
A área da superfície é
unidades de área.
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limitado pelos planos
e
.
Encontre a equação do plano tangente à superfície gráfico da função o
, no ponto onde a função tenha um valor extremo.
Determine os extremos globais da função
sobre o conjunto compacto
.
Resp: Máximo nos pontos e
e Mínimo no ponto
.
Resp: Máximo nos pontos