utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
é o arco da parábola
de
a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
ao longo da curva
. Aqui, a força que estamos considerando é dada por
, e a curva
é um arco da parábola
que vai do ponto
até
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, e verificar se o campo vetorial
é conservativo para facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a integral de linha
. Essa integral representa o trabalho realizado pela força
ao longo da curva
. Para calcular isso, temos duas opções principais:
-
Parametrizar a curva
: Escolhemos um parâmetro, geralmente , que varia de um valor inicial a um final, e expressamos e em função de . Depois, substituímos na integral e resolvemos. -
Verificar se
é um campo conservativo: Se for conservativo, existe uma função potencial tal que , e a integral de linha pode ser simplificada pela diferença dos valores de nos pontos finais.
Vamos verificar se
é conservativo, já que isso pode facilitar bastante nossos cálculos.
Passo 3
Um campo vetorial
é conservativo se satisfizer a condição de conservatividade, que no caso de duas dimensões é:
No nosso caso, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 4
Sabendo que
é conservativo, existe uma função potencial
tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar essas equações para encontrar
.
Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando em relação a
:
Portanto, a função potencial é:
Como só precisamos de uma função potencial, podemos ignorar a constante
.
Passo 5
Com a função potencial
, podemos calcular a integral de linha usando a diferença dos valores de
nos pontos finais da curva
.
Os pontos são
e
. Vamos calcular
.
Calculando
:
Calculando
:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Considere o campo vetorial
(a) Calcule
e
;
Encontre uma função
tal que
,
Resolva o PVI: