utilize a parte (a) para calcular integralC F cdot d r ao longo da curva dada C.
F(x, y)=x i+y j,
C é o arco da parábola y=x^2 de (-1,1) a (3,9)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC F cdot d r ao longo da curva C. Aqui, a força que estamos considerando é dada por F(x, y) = x i + y j, e a curva C é um arco da parábola y = x^2 que vai do ponto (-1,1) até (3,9). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, e verificar se o campo vetorial F é conservativo para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral de linha integralC F cdot d r. Essa integral representa o trabalho realizado pela força F ao longo da curva C. Para calcular isso, temos duas opções principais:
  1. Parametrizar a curva C: Escolhemos um parâmetro, geralmente t, que varia de um valor inicial a um final, e expressamos x e y em função de t. Depois, substituímos na integral e resolvemos.
  2. Verificar se F é um campo conservativo: Se F for conservativo, existe uma função potencial f tal que F = nabla f, e a integral de linha pode ser simplificada pela diferença dos valores de f nos pontos finais.
Vamos verificar se F é conservativo, já que isso pode facilitar bastante nossos cálculos.

Passo 3

Um campo vetorial F = P i + Q j é conservativo se satisfizer a condição de conservatividade, que no caso de duas dimensões é:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
No nosso caso, temos:
  • P = x
  • Q = y
Calculando as derivadas parciais:
partial Ppartial y = partial xpartial y = 0
partial Qpartial x = partial ypartial x = 0
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x = 0, o campo F é conservativo.

Passo 4

Sabendo que F é conservativo, existe uma função potencial f(x, y) tal que:
F = nabla f = ( partial fpartial x ) i + ( partial fpartial y ) j
Isso significa que:
partial fpartial x = x e partial fpartial y = y
Vamos integrar essas equações para encontrar f(x, y).
Integrando partial fpartial x = x em relação a x:
f(x, y) = x^22 + g(y)
Agora, derivamos f(x, y) em relação a y e igualamos a partial fpartial y = y:
partial fpartial y = dgdy = y
Integrando em relação a y:
g(y) = y^22 + C
Portanto, a função potencial é:
f(x, y) = x^22 + y^22 + C
Como só precisamos de uma função potencial, podemos ignorar a constante C.

Passo 5

Com a função potencial f(x, y) = x^22 + y^22, podemos calcular a integral de linha usando a diferença dos valores de f nos pontos finais da curva C.
Os pontos são A(-1, 1) e B(3, 9). Vamos calcular f(B) - f(A).
Calculando f(B):
f(3, 9) = 3^22 + 9^22 = 92 + 812 = 902 = 45
Calculando f(A):
f(-1, 1) = (-1)^22 + 1^22 = 12 + 12 = 1

Resposta

A integral de linha é igual a 45 - 1 = 44.
integralC F cdot d r = 44

Exercícios relacionados

Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (y cos x - cos y) i + (sen x + x sen y) j
Considere o campo vetorial
F(x, y, z) = (1/x + y*z, x*z + z*exp(y) + 1, x*y + exp(y) - 2*z)
(a) Calcule Div(F) e Rot(F);
Encontre uma função f tal que F = nabla f
F(x, y) = 2xy^3 i + 3x^2y^2 j,
r(t) = sen(t) i + (t^2 + 1) j, 0 <= t <= pi/2
Resolva o PVI:
y' = 2x / (1 + 2y) , y(2) = 0