Encontre uma função f tal que F = nabla f
F(x, y) = 2xy^3 i + 3x^2y^2 j,
r(t) = sen(t) i + (t^2 + 1) j, 0 <= t <= pi/2

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa encontrar uma função tal que o campo vetorial seja o gradiente de , ou seja, . Isso faz parte do estudo de campos conservativos e funções potenciais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos usar a definição de gradiente e integrar as componentes de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de em duas dimensões é dado por:
Comparando com o campo , temos:
Agora, vamos integrar a primeira equação em relação a para encontrar .

Passo 3

Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de . Agora, vamos usar a segunda equação para determinar :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos chamar essa constante de .

Resposta

A função que satisfaz é:
onde é uma constante qualquer.

Exercícios relacionados

utilize a parte (a) para calcular integralC F cdot d r ao longo da curva dada C.
F(x, y)=x i+y j,
C é o arco da parábola y=x^2 de (-1,1) a (3,9)
Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (y cos x - cos y) i + (sen x + x sen y) j
Resolva o PVI:
y' = 2x / (1 + 2y) , y(2) = 0
utilize a parte (a) para calcular integralC F cdot d r ao longo da curva dada C.
F(x, y, z)=(2 x z+sen y) i+x cos y j+x^2 k,
C: r(t)=cos t i+sen t j+t k, 0 <= t <= 2 pi