Encontre uma função
tal que
,
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente precisa encontrar uma função
tal que o campo vetorial
seja o gradiente de
, ou seja,
. Isso faz parte do estudo de campos conservativos e funções potenciais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos usar a definição de gradiente e integrar as componentes de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de
em duas dimensões é dado por:
Comparando com o campo
, temos:
Agora, vamos integrar a primeira equação em relação a
para encontrar
.
Passo 3
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
. Agora, vamos usar a segunda equação
para determinar
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos chamar essa constante de
.
Resposta
A função que satisfaz
é:
onde
é uma constante qualquer.
Exercícios relacionados
utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
é o arco da parábola
de
a
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Resolva o PVI:
utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,