Calcule as derivadas das seguintes funções.
d) f(x) = sen(3x) / (x - 2cos(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função . Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente, que é uma técnica para derivar funções que são o quociente de duas outras funções. Também vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas como o seno e o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Regra do Quociente. Se a gente tem uma função que é o quociente de duas funções, ou seja, , então a derivada dessa função é dada por:
Isso significa que a gente precisa encontrar as derivadas de e separadamente antes de aplicar a fórmula.

Passo 3

Agora, vamos identificar e na nossa função:
Vamos encontrar as derivadas dessas funções:
  1. Derivada de :
    • Usamos a Regra da Cadeia aqui. A derivada de é .
    • Então, .
  2. Derivada de :
    • A derivada de é 1.
    • A derivada de é , então a derivada de é .
    • Somando tudo, .

Passo 4

Agora que temos e , vamos aplicar a Regra do Quociente:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A derivada da função é:

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