Calcule as derivadas das seguintes funções.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função . Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente, que é uma técnica para derivar funções que são o quociente de duas outras funções. Também vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas como o seno e o cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Regra do Quociente. Se a gente tem uma função que é o quociente de duas funções, ou seja,
, então a derivada dessa função é dada por:
Isso significa que a gente precisa encontrar as derivadas de
e
separadamente antes de aplicar a fórmula.
Passo 3
Agora, vamos identificar
e
na nossa função:
Vamos encontrar as derivadas dessas funções:
-
Derivada de :
- Usamos a Regra da Cadeia aqui. A derivada de é
. - Então,
.
- Usamos a Regra da Cadeia aqui. A derivada de é
-
Derivada de
: - A derivada de
é 1. - A derivada de
é , então a derivada de é . - Somando tudo, .
- A derivada de
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos aplicar a Regra do Quociente:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A derivada da função é: