Determine
tais que:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar duas permutações
e
no grupo
(que é o conjunto de todas as permutações de três elementos) de forma que o quadrado da composição delas,
, seja diferente da composição dos quadrados,
. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as permutações e como calculamos compostos e potências delas.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as permutações possíveis em
. Em
, temos 6 permutações:
-
: a identidade, que não muda nada. -
: troca 1 com 2. -
: troca 1 com 3. -
: troca 2 com 3. -
: 1 vai para 2, 2 vai para 3, e 3 volta para 1. -
: 1 vai para 3, 3 vai para 2, e 2 volta para 1.
Passo 3
Vamos escolher duas permutações que não comutam, ou seja, cuja ordem de aplicação importa. Por exemplo, vamos escolher
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Aplicando
primeiro e depois
:
-
transforma 1→2, 2→3, 3→1. -
troca 1 e 2.
Então,
transforma:
- 1→2 (pela
) e depois 2→1 (pela ) → 1→1 - 2→3 (pela
) e depois 3→3 (pela ) → 2→3 - 3→1 (pela
) e depois 1→2 (pela ) → 3→2
Portanto,
.
Passo 5
Agora, calculamos
. Isso significa aplicar
duas vezes:
Aplicando
uma vez: 2↔3
Aplicando novamente: 2↔3
Então, (a identidade).
Aplicando novamente: 2↔3
Então,
Passo 6
Vamos calcular agora
:
-
(porque trocar duas vezes retorna ao estado inicial). -
.
Então,
.
Passo 7
Comparando os resultados:
Claramente,
, então
.
Resposta
Escolhendo
e
em
, temos que
.
Exercícios relacionados
Se
e
são dois números naturais tais que
e
, então
. Esta
é a definição de Número Binomial. Uma das propriedades mais importantes destes números é a chamada Relação de Stifel. Prove-a:
é a definição de Número Binomial. Uma das propriedades mais importantes destes números é a chamada Relação de Stifel. Prove-a:
Considere o conjunto
munido da operação definida por
.
© Resolva a seguinte equação nesse grupo:
© Resolva a seguinte equação nesse grupo:
Se A e B são ângulos agudos positivos, demonstre que
.
Sejam a, b, c, d números racionais e
um número irracional. Prove que: