Determine f, g in S3 tais que:
(b) (f circ g)^2 neq f^2 circ g^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar duas permutações e no grupo (que é o conjunto de todas as permutações de três elementos) de forma que o quadrado da composição delas, , seja diferente da composição dos quadrados, . Para isso, vamos precisar entender como funcionam as permutações e como calculamos compostos e potências delas.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as permutações possíveis em . Em , temos 6 permutações:
  1. : a identidade, que não muda nada.
  2. : troca 1 com 2.
  3. : troca 1 com 3.
  4. : troca 2 com 3.
  5. : 1 vai para 2, 2 vai para 3, e 3 volta para 1.
  6. : 1 vai para 3, 3 vai para 2, e 2 volta para 1.

Passo 3

Vamos escolher duas permutações que não comutam, ou seja, cuja ordem de aplicação importa. Por exemplo, vamos escolher e .

Passo 4

Agora, vamos calcular . Aplicando primeiro e depois :
  • transforma 1→2, 2→3, 3→1.
  • troca 1 e 2.
Então, transforma:
  1. 1→2 (pela ) e depois 2→1 (pela ) → 1→1
  2. 2→3 (pela ) e depois 3→3 (pela ) → 2→3
  3. 3→1 (pela ) e depois 1→2 (pela ) → 3→2
Portanto, .

Passo 5

Agora, calculamos . Isso significa aplicar duas vezes:
Aplicando uma vez: 2↔3
Aplicando novamente: 2↔3
Então, (a identidade).

Passo 6

Vamos calcular agora :
  • (porque trocar duas vezes retorna ao estado inicial).
  • .
Então, .

Passo 7

Comparando os resultados:
Claramente, , então .

Resposta

Escolhendo e em , temos que .

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