Sejam a, b, c, d números racionais e alpha um número irracional. Prove que:
a+b alpha=c+d alpha Leftrightarrow (a=c e b=d)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro números racionais e um número irracional . A tarefa é provar que a igualdade só acontece se e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra, especialmente relacionados a números racionais e irracionais.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que . Queremos mostrar que isso implica que e .

Passo 3

Vamos reorganizar a igualdade a + balpha - c - dalpha = 0 para isolar os termos semelhantes. Subtraímos de ambos os lados:

Passo 4

Agrupamos os termos constantes e os termos que contêm (a - c) + (b - d)alpha = 0 :

Passo 5

Agora, temos uma equação onde uma combinação linear de um número racional (como ) e um número irracional ( ) é igual a zero. Sabemos que é irracional, e a única maneira dessa combinação ser zero é se os coeficientes das partes racionais e irracionais forem zero separadamente.

Passo 6

Portanto, temos que:
a - c = 0 e b - d = 0

Passo 7

Resolvendo essas equações, obtemos:
a = c e b = d

Resposta

Assim, provamos que se e somente se e .

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