Sejam a, b, c, d números racionais e
um número irracional. Prove que:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro números racionais
e um número irracional
. A tarefa é provar que a igualdade
só acontece se
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra, especialmente relacionados a números racionais e irracionais.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que
. Queremos mostrar que isso implica que
e
.
Passo 3
Vamos reorganizar a igualdade
para isolar os termos semelhantes. Subtraímos
de ambos os lados:
Passo 4
Agrupamos os termos constantes e os termos que contêm
:
Passo 5
Agora, temos uma equação onde uma combinação linear de um número racional (como
) e um número irracional (
) é igual a zero. Sabemos que
é irracional, e a única maneira dessa combinação ser zero é se os coeficientes das partes racionais e irracionais forem zero separadamente.
Passo 6
Portanto, temos que:
Passo 7
Resolvendo essas equações, obtemos:
Resposta
Assim, provamos que
se e somente se
e
.
Exercícios relacionados
Se A e B são ângulos agudos positivos, demonstre que
.
Determine
tais que:
(b) .
(b)
Calcule todos os subgrupos dos seguintes grupos:
(b) ;
(b)
Prove que
.