Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se o campo vetorial
é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função
tal que
. O conteúdo aqui envolve entender o que é um campo vetorial conservativo e como verificar essa propriedade. Para resolver, vamos precisar lembrar das condições que fazem um campo ser conservativo e aplicar umas derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Um campo é conservativo se ele for o gradiente de alguma função escalar
. Isso significa que o trabalho realizado por
ao longo de qualquer caminho fechado é zero. Na prática, em duas dimensões, uma condição simples para verificar se o campo é conservativo é calcular as derivadas parciais das componentes do campo e ver se elas satisfazem a igualdade
, onde
.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso campo
. Aqui,
e
. Calculando as derivadas parciais:
Agora, verificamos se
. Substituindo, temos
, ou seja,
. Como a igualdade não se cumpre, isso significa que o campo
não é conservativo.
Resposta
O campo vetorial
não é um campo vetorial conservativo.
Exercícios relacionados
Determinar
é equivalente a obter o zero da função
. Considerando uma tolerância
e um intervalo inicial
, calcule a quantidade de iterações para se obter a resposta com a precisão exigida pelo método da bisseção.
Considere os seguintes números
,
e
. Calcule o resultado das seguintes operações trabalhando com quatro dígitos e usando primeiramente truncamento e, depois, arredondamento.
Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
e) .
e)
Inverta a ordem de integração.
(i)
(i)