Inverta a ordem de integração.
(i)
(i)
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, precisamos identificar a região de integração atual e então reescrevê-la trocando a ordem de integração, ou seja, passar de
para
, ou vice-versa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração fornecidos:
- A integral externa tem
variando de até . - Para cada valor de
, varia de até .
Isso define uma região no plano
onde
está entre
e
, e para cada
,
está entre
e
.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em função de
e determinar os novos limites para
e
.
Primeiro, observamos os limites de
:
- O valor mínimo de
ocorre quando : . - O valor máximo de
ocorre quando : .
Então,
varia de
a
.
Agora, para cada
, determinamos os limites de
:
- A partir de
, varia de até .
Passo 4
Com os novos limites identificados, podemos reescrever a integral dupla invertendo a ordem de integração:
Resposta
A ordem de integração invertida fica:
Exercícios relacionados
Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
e) .
e)
Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
b)
b)
Inverta a ordem de integração.
(a)
(a)
Em cada caso abaixo, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.