Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
e)
.
e)
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício que você me passou. A gente precisa descobrir se o campo vetorial
é conservativo. Se for, a gente também tem que encontrar uma função
tal que
. Para isso, vamos usar conceitos de campos vetoriais conservativos e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial
tal que
, ou seja, as componentes de
são as derivadas parciais de
em relação a
e
. Além disso, para campos em duas dimensões, uma condição necessária para ser conservativo é que
, onde
.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Passo 4
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a condição necessária é satisfeita. Portanto, o campo
é conservativo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é uma função que depende só de
.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos considerar como zero para simplificar.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo, e uma função potencial é:
Exercícios relacionados
Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
b)
b)
Determinar
é equivalente a obter o zero da função
. Considerando uma tolerância
e um intervalo inicial
, calcule a quantidade de iterações para se obter a resposta com a precisão exigida pelo método da bisseção.
Inverta a ordem de integração.
(i)
(i)
Inverta a ordem de integração.
(a)
(a)