Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
e) F(x, y) = (e^x sen(y)) i + (e^x cos(y)) j.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício que você me passou. A gente precisa descobrir se o campo vetorial é conservativo. Se for, a gente também tem que encontrar uma função f tal que . Para isso, vamos usar conceitos de campos vetoriais conservativos e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial f tal que , ou seja, as componentes de F são as derivadas parciais de f em relação a x e y. Além disso, para campos em duas dimensões, uma condição necessária para ser conservativo é que , onde .

Passo 3

Vamos identificar P e Q no nosso campo vetorial:

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como , a condição necessária é satisfeita. Portanto, o campo F é conservativo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função potencial f. Sabemos que:
Vamos integrar em relação a x:
Onde g(y) é uma função que depende só de y.

Passo 6

Agora, derivamos f(x, y) em relação a y e igualamos a Q:
Isso implica que , então g(y) é uma constante, que podemos considerar como zero para simplificar.

Resposta

O campo vetorial é conservativo, e uma função potencial é:

Exercícios relacionados