Determine a família de funções representada por ∫ 5/(x²-25)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar a família de funções que representa a integral de $ \frac{5}{x^2 - 25} $. Isso envolve cálculo integral, mais especificamente a integração de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a quebrar frações mais complicadas em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: $ x^2 - 25 $. Esse tipo de expressão pode ser fatorado usando a identidade da diferença de quadrados. Ou seja:
x^2 - 25
Isso vai nos ajudar a simplificar a fração.

Passo 3

Agora, a integral fica assim:
integral 5(x - 5)(x + 5) , dx
Para integrar essa fração, vamos usar a decomposição em frações parciais. Isso significa que vamos expressar $ \frac{5}{(x - 5)(x + 5)} $ como a soma de duas frações mais simples.

Passo 4

Vamos assumir que essa fração pode ser escrita da seguinte forma:
5(x - 5)(x + 5) = Ax - 5 + Bx + 5
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que precisamos descobrir.

Passo 5

Para encontrar $ A $ e $ B $, multiplicamos ambos os lados da equação por $ (x - 5)(x + 5) $:
A
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ A $ e $ B $.

Passo 6

Vamos escolher valores de $ x $ que simplifiquem a equação. Primeiro, vamos deixar $ x = 5 $:
x

Passo 7

Agora, escolhemos $ x = -5 $:
x = -5

Passo 8

Com os valores de $ A $ e $ B $ encontrados, a decomposição fica:
A

Passo 9

Agora, substituímos essa decomposição na integral original:
integral 1/2x - 5 , dx - integral 1/2x + 5 , dx
Essas integrais são mais fáceis de resolver e vamos usar a regra básica da integral do logaritmo natural.

Passo 10

Integrando cada termo, temos:
12 ln|x - 5| - 12 ln|x + 5| + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Resposta

A família de funções é:
12 ln|x - 5| - 12 ln|x + 5| + C

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