Determine a família de funções representada por ∫ 5/(x²-25)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar a família de funções que representa a integral de $ \frac{5}{x^2 - 25} $. Isso envolve cálculo integral, mais especificamente a integração de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a quebrar frações mais complicadas em partes mais simples para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: $ x^2 - 25 $. Esse tipo de expressão pode ser fatorado usando a identidade da diferença de quadrados. Ou seja:
Isso vai nos ajudar a simplificar a fração.
Passo 3
Agora, a integral fica assim:
Para integrar essa fração, vamos usar a decomposição em frações parciais. Isso significa que vamos expressar $ \frac{5}{(x - 5)(x + 5)} $ como a soma de duas frações mais simples.
Passo 4
Vamos assumir que essa fração pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que precisamos descobrir.
Passo 5
Para encontrar $ A $ e $ B $, multiplicamos ambos os lados da equação por $ (x - 5)(x + 5) $:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ A $ e $ B $.
Passo 6
Vamos escolher valores de $ x $ que simplifiquem a equação. Primeiro, vamos deixar $ x = 5 $:
Passo 7
Agora, escolhemos $ x = -5 $:
Passo 8
Com os valores de $ A $ e $ B $ encontrados, a decomposição fica:
Passo 9
Agora, substituímos essa decomposição na integral original:
Essas integrais são mais fáceis de resolver e vamos usar a regra básica da integral do logaritmo natural.
Passo 10
Integrando cada termo, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Resposta
A família de funções é: