O numero de bactérias de uma cultura, t horas após o inicio de certo experimento, é dado pela expressão N(t)=1200.2 elevado a 0,4t. Nessas condições, quanto tempo pós o início do experimento a cultura terá 38400 bactérias?

Passo 1

Vamos entender o problema: temos uma cultura de bactérias que cresce ao longo do tempo. A quantidade de bactérias, $ N(t) $, após $ t $ horas, é dada pela fórmula:
N(t)
Queremos descobrir quanto tempo, $ t $, leva para que a cultura atinja 38.400 bactérias. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Começamos substituindo $ N(t) $ por 38.400 na fórmula:
N(t)
Nosso objetivo é encontrar o valor de $ t $.

Passo 3

Para isolar $ 2^{0,4t} $, dividimos ambos os lados da equação por 1200:
2^0,4t
384001200 = 2^0,4t

Passo 4

Agora, para resolver a equação exponencial, usamos o logaritmo na base 2. Aplicamos logaritmo em ambos os lados:
log232 = log22^0,4t

Passo 5

Simplificamos o lado direito usando a propriedade dos logaritmos $ \log_b{b^x} = x $:
logbb^x = x
Sabemos que $ 2^5 = 32 $, então $ \log_2{32} = 5 $:
log232 = 0,4t

Passo 6

Isolamos $ t $ dividindo ambos os lados por 0,4:
t
t = 50,4

Resposta

Depois de 12,5 horas, a cultura terá 38.400 bactérias.

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