Para encontrar pontos críticos e pontos de máximo e mínimo absolutos de funções, as derivadas são essenciais. Suponha a seguinte função: f (x) = 2/x² - x, 0 < x < 1. Determine se f(x) tem extremos absolutos e, caso tenha, onde ocorrem.
A. Não tem extremos absolutos.
B. Tem máximo absoluto em x= 1/2.
C. Tem mínimo absoluto em x= 1/2.
D. Tem máximo absoluto em x.
E. Tem mínimo absoluto em x= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os pontos críticos e os extremos absolutos (máximos e mínimos) da função $ f(x) = \frac{2}{x^2} - x $ no intervalo $ 0 < x < 1 $. Para isso, vamos usar o calculo de derivadas, que nos ajuda a entender onde a função pode ter esses pontos especiais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, para onde ela está subindo ou descendo.
A função é:
f(x)
Podemos reescrever para facilitar a derivação:
f(x) = 2x^2 - x
Agora, derivando termo a termo:
f(x) = 2x^-2 - x

Passo 3

Vamos encontrar os pontos críticos resolvendo $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = 0
Isolando os termos:
-4x^3 - 1 = 0
Agora, multiplicando ambos os lados por $ x^3 $:
-4x^3 = 1 Rightarrow 4x^3 = -1
Como estamos considerando $ 0 < x < 1 $ e $ x^3 $ sempre é positivo nesse intervalo, não há solução real para essa equação dentro do nosso intervalo. Isso significa que não existem pontos críticos dentro de $ 0 < x < 1 $.

Passo 4

Como não temos pontos críticos no intervalo, vamos analisar os valores da função nos extremos do intervalo, ou seja, em $ x $ próximo a 0 e em $ x = 1 $.
  1. Quando $ x $ se aproxima de 0:
x
Isso significa que a função cresce sem limite quando $ x $ se aproxima de 0.
  1. Quando $ x = 1 $:
x = 1

Passo 5

Com base nessas análises:
  • Não há pontos críticos dentro do intervalo $ 0 < x < 1 $.
  • A função tende ao infinito quando $ x $ se aproxima de 0.
  • O valor da função em $ x = 1 $ é 1, que é o menor valor que a função atinge nesse intervalo.
Portanto, a função possui um mínimo absoluto em $ x = 1 $.

Resposta

A resposta correta é que a função $ f(x) $ tem um mínimo absoluto em $ x = 1 $.

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