Resolva a integral integral x sen x d x aplicando integração por partes.
Calcule d u e v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a técnica de integração por partes. Para isso, precisamos entender como essa técnica funciona e identificar quais partes da nossa integral serão e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o que será u = x e dv = sen x , dx e o que será na nossa integral. A ideia é escolher de forma que sua derivada seja mais simples, e de forma que possamos integrar facilmente para encontrar .
Aqui, vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos calcular du = dudx , dx = 1 cdot dx = dx e v = integral sen x , dx = -cos x :
  1. Calcular :
    Derivando em relação a , temos:
  2. Calcular :
    Para encontrar , precisamos integrar :

Passo 4

Agora que temos integral u , dv = u cdot v - integral v , du , integral x cdot sen x , dx = x cdot (-cos x) - integral (-cos x) cdot dx , e , podemos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
-x cos x + integral cos x , dx
Integrando integral cos x , dx = sen x :
Então, a expressão fica:
Onde -x cos x + sen x + C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:

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