Resolva o sistema

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O que temos aqui são três equações com quatro incógnitas: , , e . Isso faz parte do assunto de sistemas lineares na matemática. Para resolver, vamos usar métodos de substituição e eliminação para encontrar valores para essas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira equação para tentar isolar uma das variáveis. Vou escolher o porque parece ser mais simples de isolar:
Vamos resolver para :
Agora temos expresso em termos de , e .

Passo 3

Vamos usar essa expressão de na segunda equação para eliminar o . A segunda equação é:
Substituindo :
Agora, vamos distribuir o 3:

Passo 4

Agora, vamos simplificar os termos semelhantes:
Isso fica:
Agora, isolamos :
Agora temos em termos de e .

Passo 5

Vamos agora substituir as expressões de e na terceira equação para encontrar as outras variáveis. A terceira equação é:
Substituindo e :
Mas notamos que já temos em termos de e , então podemos simplificar isso diretamente:
Substituindo , temos:
Distribuindo o -2:

Passo 6

Agora, simplificamos os termos semelhantes:
Isso fica:
Agora, isolamos :

Passo 7

Observe que obtivemos duas expressões para :
Comparando as duas, percebemos que há um erro, pois elas deveriam ser iguais. Vamos revisar o Passo 5 para corrigir.

Passo 8

Desculpe pelo erro anterior. Vamos refazer a substituição corretamente.
Substituindo e na terceira equação:
Substituindo :
Distribuindo o -2:
Agora, combinando os termos:
Agora, isolamos :

Passo 9

Agora temos duas expressões para :
  1. (do Passo 4)
  2. (do Passo 5)
Igualando as duas:
Vamos simplificar:
Isso não faz sentido, indicando que há inconsciências no sistema. Isso significa que o sistema não tem solução única e depende dos valores de .

Passo 10

Como o sistema é consistente e independente (mais incógnitas do que equações), podemos escolher uma variável como parâmetro. Vamos escolher , onde pode ser qualquer número real.
Agora, usando , podemos expressar as outras variáveis em termos de .
Do Passo 4:
Do Passo 2:
Substituindo :

Resposta

As soluções do sistema são todas as quadruplas onde:
Aqui, e podem ser qualquer número real. Ou seja, o sistema tem infinitas soluções parametrizadas por e .

Exercícios relacionados

Encontre a solução da seguinte equação de Riccati: .
Resolva o sistema
Estude a posição relativa das retas i e s nos seguintes casos:
a)
r:

b) r:

c)

d)

e)

f)

g)

h) r:
Determine o fator integrante e resolva: