Determine, sem fazer contas, se u é um vetor do subespaço [v]. Depois diga se u e v são linearmente independentes.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir, sem fazer cálculos, se o vetor pertence ao subespaço gerado por , que a gente escreve como . Depois, precisamos ver se e são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e o que significa ser linearmente independente.

Passo 2

Primeiro, um subespaço é basicamente todos os vetores que podem ser formados multiplicando por algum escalar. Então, se está em , significa que existe um número tal que . Sem fazer contas, a gente precisa ver se isso é possível só olhando pra relação entre e .

Passo 3

Agora, sobre independência linear. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Ou seja, se não é um múltiplo de e vice-versa, então eles são independentes. Se um for múltiplo do outro, eles são linearmente dependentes.

Passo 4

Então, se a gente descobrir que é um múltiplo de , isso significa que está no subespaço e também que e são linearmente dependentes. Se não for, não está em e eles são independentes.

Resposta

Sem fazer contas, se for um múltiplo de , então pertence ao subespaço e e são linearmente dependentes. Caso contrário, não está em e eles são linearmente independentes.

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