Calcule integral (x^2 + 1)(x^3 + 3x - 2)^8 dx.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo e quais conceitos vamos usar. Precisamos calcular a integral de em relação a . Para resolver isso, vamos utilizar o método de substituição, que é uma técnica de cálculo integral onde substituímos uma parte da integral por uma variável para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos decidir qual parte da integral substituir por u = x^3 + 3x - 2 . Observando a integral, vemos que está elevada à potência 8, e sua derivada é , que é semelhante a . Então, vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 3x^2 + 3 Rightarrow du = (3x^2 + 3) dx em relação a para encontrar :

Passo 4

Vamos expressar a parte da integral que temos em termos de x^2 + 1 = 13(3x^2 + 3) . Nosso integrando tem (x^2 + 1) dx = 13 du , que é semelhante a . Para ajustar, podemos escrever:
Portanto,

Passo 5

Agora, substituímos na integral original:
integral (x^2 + 1)(x^3 + 3x - 2)^8 dx = integral 13 u^8 du = 13 integral u^8 du

Passo 6

Vamos integrar integral u^8 du = u^99 + C :
13 times u^99 = u^927 + C
Então,

Passo 7

Finalmente, voltamos à variável original (x^3 + 3x - 2)^927 + C :

Resposta

integral (x^2 + 1)(x^3 + 3x - 2)^8 dx = (x^3 + 3x - 2)^927 + C

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