Encontre os valores críticos de
e determine se cada um corresponde a um máximo local, um mínimo local ou nenhum.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar os valores críticos da função
e dizer se cada um é um máximo local, mínimo local ou nenhum. Para isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar onde a inclinação da função é zero ou não existe, ou seja, onde a função tem potenciais pontos de máximo ou mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada de
. A função é um produto de duas funções:
e
. Para derivar isso, vamos usar a Regra do Produto, que diz que
.
Passo 3
Calculando as derivadas individuais:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Passo 4
Aplicando a Regra do Produto:
Podemos fatorar
:
Passo 5
Para encontrar os valores críticos, igualamos a derivada a zero:
Sabemos que
nunca é zero, então basta resolver:
Isso é uma equação quadrática.
Passo 6
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
,
:
Então, as soluções são:
Passo 7
Agora, vamos determinar se cada valor crítico é um máximo local, mínimo local ou nenhum. Para isso, vamos usar o Teste da Segunda Derivada.
Primeiro, precisamos da segunda derivada
.
Passo 8
Derivando
:
Usamos novamente a Regra do Produto:
Usamos novamente a Regra do Produto:
Passo 9
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
- Para
:
Como a segunda derivada é positiva,
é um mínimo local.
- Para
:
Como a segunda derivada é negativa,
é um máximo local.
Resposta
Os valores críticos da função são
e
. O ponto
corresponde a um mínimo local, e o ponto
corresponde a um máximo local.