Encontre os valores críticos de f(x) = (x^2 - 3)e^x e determine se cada um corresponde a um máximo local, um mínimo local ou nenhum.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar os valores críticos da função e dizer se cada um é um máximo local, mínimo local ou nenhum. Para isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar onde a inclinação da função é zero ou não existe, ou seja, onde a função tem potenciais pontos de máximo ou mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada de . A função é um produto de duas funções: e . Para derivar isso, vamos usar a Regra do Produto, que diz que .

Passo 3

Calculando as derivadas individuais:
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .

Passo 4

Aplicando a Regra do Produto:
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2x e^x + (x^2 - 3)e^x
Podemos fatorar f'(x) = e^x (2x + x^2 - 3) = e^x (x^2 + 2x - 3) :

Passo 5

Para encontrar os valores críticos, igualamos a derivada a zero:
e^x (x^2 + 2x - 3) = 0
Sabemos que x^2 + 2x - 3 = 0 nunca é zero, então basta resolver:
Isso é uma equação quadrática.

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática x = -b pm raizb^2 - 4ac2a usando a fórmula de Bhaskara:
x = -2 pm raiz4 + 122 = -2 pm raiz162 = -2 pm 42
Onde x = 1 e x = -3 , , :
Então, as soluções são:

Passo 7

Agora, vamos determinar se cada valor crítico é um máximo local, mínimo local ou nenhum. Para isso, vamos usar o Teste da Segunda Derivada.
Primeiro, precisamos da segunda derivada .

Passo 8

Derivando f''(x) = e^x (x^2 + 2x - 3) + e^x (2x + 2) = e^x (x^2 + 4x - 1) :
Usamos novamente a Regra do Produto:

Passo 9

Agora, avaliamos f''(1) = e^1 (1 + 4 - 1) = e cdot 4 > 0 nos pontos críticos:
  • Para f''(-3) = e^-3 (9 - 12 - 1) = e^-3 cdot (-4) < 0 :
Como a segunda derivada é positiva, é um mínimo local.
  • Para :
Como a segunda derivada é negativa, é um máximo local.

Resposta

Os valores críticos da função são e . O ponto corresponde a um mínimo local, e o ponto corresponde a um máximo local.

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