Determine se a integral imprópria
converge ou diverge. Se convergir, calcule seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar se a integral imprópria
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular o valor dessa integral. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral e análise de integrais impróprias para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Quando a integral tem um dos limites sendo infinito, como no nosso caso, ela é chamada de imprópria. Para avaliar se ela converge ou diverge, a gente calcula o limite da integral quando o limite superior tende ao infinito.
Passo 3
A função que estamos integrando é
, que é uma função contínua para todo
. Isso significa que não teremos problemas com descontinuidades no intervalo de integração.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a antiderivada de
. Sabemos que:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Com isso, podemos expressar a integral imprópria como o limite:
Passo 6
Vamos calcular cada parte desse limite. Sabemos que
quando
tende ao infinito é
, e
.
Passo 7
Substituindo esses valores no limite, temos:
Resposta
A integral imprópria
converge e seu valor é
.