Determine se a integral imprópria integral1^infty 1x^2 + 1 dx converge ou diverge. Se convergir, calcule seu valor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar se a integral imprópria converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular o valor dessa integral. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral e análise de integrais impróprias para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Quando a integral tem um dos limites sendo infinito, como no nosso caso, ela é chamada de imprópria. Para avaliar se ela converge ou diverge, a gente calcula o limite da integral quando o limite superior tende ao infinito.

Passo 3

A função que estamos integrando é , que é uma função contínua para todo . Isso significa que não teremos problemas com descontinuidades no intervalo de integração.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a antiderivada de integral 1x^2 + 1 dx = arctan(x) + C . Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Com isso, podemos expressar a integral imprópria como o limite:
integral1^infty 1x^2 + 1 dx = limb to infty [ arctan(b) - arctan(1) ]

Passo 6

Vamos calcular cada parte desse limite. Sabemos que quando tende ao infinito é , e .

Passo 7

Substituindo esses valores no limite, temos:
limb to infty [ pi2 - pi4 ] = pi2 - pi4 = pi4

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é .

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