Determine a FDA da variável aleatória contínua X cuja função de densidade é dada por:
á

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Probabilidade e Estatística onde precisamos encontrar a Função Distribuição Acumulada (FDA) da variável aleatória contínua . A função de densidade de probabilidade (PDF) dessa variável é dada por:
á
Então, o que vamos precisar aqui é entender como derivar a FDA a partir da PDF fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a Função Distribuição Acumulada (FDA), denotada por , dá a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a um certo valor . Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso, como a PDF é zero para e , a integral vai ser diferente dependendo do valor de .

Passo 3

Vamos dividir em três casos para facilitar:
  1. Quando :
    Aqui, já que a PDF é zero para qualquer menor que 0, a FDA também será zero.
  2. Quando :
    Nesse intervalo, vamos integrar a PDF de 0 até :
  3. Quando :
    Para valores maiores que 1, a PDF é zero acima de 1, então a FDA será igual a 1 (toda a probabilidade acumulada).

Passo 4

Vamos resolver a integral para o caso :
Integrando :
Então,

Passo 5

Agora, juntando todos os casos, a FDA fica assim:

Resposta

Portanto, a Função Distribuição Acumulada (FDA) da variável aleatória é:

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