Determine a FDA da variável aleatória contínua X cuja função de densidade é dada por:
f(x)=l 3 x^2, se 0 <= x <= 1 0, caso contrário á

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Probabilidade e Estatística onde precisamos encontrar a Função Distribuição Acumulada (FDA) da variável aleatória contínua f(x)=l 3 x^2, se 0 <= x <= 1 0, caso contrário . A função de densidade de probabilidade (PDF) dessa variável é dada por:
á
Então, o que vamos precisar aqui é entender como derivar a FDA a partir da PDF fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a Função Distribuição Acumulada (FDA), denotada por F(x) = P(X <= x) = integral-infty^x f(t) , dt , dá a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a um certo valor . Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso, como a PDF é zero para e , a integral vai ser diferente dependendo do valor de .

Passo 3

Vamos dividir em três casos para facilitar:
  1. Quando F(x) = integral0^x 3 t^2 , dt :
    Aqui, já que a PDF é zero para qualquer menor que 0, a FDA também será zero.
  2. Quando :
    Nesse intervalo, vamos integrar a PDF de 0 até :
  3. Quando :
    Para valores maiores que 1, a PDF é zero acima de 1, então a FDA será igual a 1 (toda a probabilidade acumulada).

Passo 4

Vamos resolver a integral para o caso F(x) = integral0^x 3 t^2 , dt :
integral 3 t^2 , dt = 3 cdot t^33 = t^3
Integrando F(x) = t^3 |0^x = x^3 - 0 = x^3 :
Então,

Passo 5

Agora, juntando todos os casos, a FDA F(x) = ll 0, & se x < 0 x^3, & se 0 <= x <= 1 1, & se x > 1 fica assim:

Resposta

Portanto, a Função Distribuição Acumulada (FDA) da variável aleatória F(x) = ll 0, & se x < 0 x^3, & se 0 <= x <= 1 1, & se x > 1 é:

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