Determine a FDA da variável aleatória contínua X cuja função de densidade é dada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Probabilidade e Estatística onde precisamos encontrar a Função Distribuição Acumulada (FDA) da variável aleatória contínua . A função de densidade de probabilidade (PDF) dessa variável é dada por:
Então, o que vamos precisar aqui é entender como derivar a FDA a partir da PDF fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a Função Distribuição Acumulada (FDA), denotada por , dá a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a um certo valor . Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso, como a PDF é zero para e , a integral vai ser diferente dependendo do valor de .
Passo 3
Vamos dividir em três casos para facilitar:
Quando :
Aqui, já que a PDF é zero para qualquer menor que 0, a FDA também será zero.
Quando :
Nesse intervalo, vamos integrar a PDF de 0 até :
Quando :
Para valores maiores que 1, a PDF é zero acima de 1, então a FDA será igual a 1 (toda a probabilidade acumulada).
Passo 4
Vamos resolver a integral para o caso :
Integrando :
Então,
Passo 5
Agora, juntando todos os casos, a FDA fica assim:
Resposta
Portanto, a Função Distribuição Acumulada (FDA) da variável aleatória é: