Se X é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade (FDP) f(x)=3 x^2 para (0 se x <= 1 ), calcule a probabilidade de que X seja menor que 0,5 .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória contínua com uma função densidade de probabilidade (FDP) definida por para e caso contrário. O que queremos saber é qual a probabilidade de ser menor que 0,5. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de probabilidades para variáveis contínuas.

Passo 2

Primeiro, lembra que para variáveis contínuas, a probabilidade de estar em um intervalo específico é dada pela integral da função densidade de probabilidade nesse intervalo. Ou seja, para encontrar , vamos integrar de 0 até 0,5.

Passo 3

Vamos escrever a integral que representa essa probabilidade:
P(X < 0,5) = integral0^0,5 3x^2 , dx
Aqui, é a nossa função densidade, e estamos integrando de 0 até 0,5 porque queremos a probabilidade de ser menor que 0,5.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral:
integral0^0,5 3x^2 , dx = 3 integral0^0,5 x^2 , dx = 3 [ x^33 ]0^0,5 = [ x^3 ]0^0,5 = (0,5)^3 - (0)^3 = 0,125 - 0 = 0,125
Então, a probabilidade é 0,125.

Resposta

A probabilidade de ser menor que 0,5 é 0,125 ou .

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