Para a variável aleatória contínua X com f.d.p
, calcule a variância de X.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a variância de uma variável aleatória contínua
que segue uma distribuição exponencial, com a função densidade de probabilidade
para
. Então, estamos trabalhando com probabilidade e estatística, especificamente com distribuição exponencial. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a variância de uma distribuição contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a variância (
) é uma medida que indica o quanto os valores de
estão espalhados em relação à média. Para calcular a variância, usamos a fórmula:
Onde
é a esperança (ou média) de
e
é a esperança de
.
Passo 3
Vamos calcular
primeiro. Para uma distribuição exponencial, a esperança de
é dada por:
Essa é uma propriedade conhecida da distribuição exponencial.
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Isso envolve integrar
vezes a função densidade
:
Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula de integração por partes ou reconhecer que para a distribuição exponencial,
.
Passo 5
Com
e
, substituímos na fórmula da variância:
Resposta
A variância de
é
.
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