Para a variável aleatória contínua X com f.d.p f(x)=lambda e^-lambda x, x >= 0, calcule a variância de X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a variância de uma variável aleatória contínua que segue uma distribuição exponencial, com a função densidade de probabilidade para . Então, estamos trabalhando com probabilidade e estatística, especificamente com distribuição exponencial. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a variância de uma distribuição contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a variância ( Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 ) é uma medida que indica o quanto os valores de estão espalhados em relação à média. Para calcular a variância, usamos a fórmula:
Onde é a esperança (ou média) de e é a esperança de .

Passo 3

Vamos calcular E[X] = 1lambda primeiro. Para uma distribuição exponencial, a esperança de é dada por:
Essa é uma propriedade conhecida da distribuição exponencial.

Passo 4

Agora, vamos calcular E[X^2] = integral0^infty x^2 lambda e^-lambda x , dx . Isso envolve integrar vezes a função densidade :
Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula de integração por partes ou reconhecer que para a distribuição exponencial, .

Passo 5

Com Var(X) = 2lambda^2 - (1lambda)^2 = 2lambda^2 - 1lambda^2 = 1lambda^2 e , substituímos na fórmula da variância:

Resposta

A variância de é .

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