Determine o fluxo do campo vetorial
Sendo
as superfícies entre os cilindro de paredes espessas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o fluxo de um campo vetorial específico através de uma superfície S, que está delimitada entre dois cilindros de raios
e
, e entre as alturas
e
. Vamos usar o conteúdo de Cálculo Vetorial, mais especificamente o Teorema da Divergência, que nos ajuda a calcular fluxos através de superfícies fechadas de forma mais fácil. Para isso, vamos precisar calcular a divergência do campo vetorial e depois integrar essa divergência sobre o volume delimitado pela superfície S.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada de P em relação a x:
- Derivada de Q em relação a y:
Primeiro, derivamos
em relação a y:
Então,
- Derivada de R em relação a z:
Agora, somando todas as derivadas parciais:
Passo 3
Agora que temos a divergência, vamos usar o Teorema da Divergência que nos diz que o fluxo através da superfície fechada S é igual à integral tripla da divergência de F sobre o volume V delimitado por S:
Como a região tem simetria cilíndrica, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas, onde
,
, e
. Nessas coordenadas, temos que
e o elemento de volume é
.
Vamos reescrever a divergência em coordenadas cilíndricas:
Passo 4
Agora, configuramos os limites de integração. A região V está entre os cilindros de
e
, e entre
e
. O ângulo
varia de
a
. Então, a integral tripla fica:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Vamos integrar termo a termo:
- Integral de
:
Isso porque a integral de
de
a
é zero.
- Integral de
:
Como z varia de -1 a 2, a integral em z fica:
Então, multiplicando pela integral em r:
- Integral de
:
Resposta
Somando todos os termos, o fluxo do campo vetorial
através da superfície
é:
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