Determine o fluxo do campo vetorial
Sendo as superfícies entre os cilindro de paredes espessas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o fluxo de um campo vetorial específico através de uma superfície S, que está delimitada entre dois cilindros de raios e , e entre as alturas e . Vamos usar o conteúdo de Cálculo Vetorial, mais especificamente o Teorema da Divergência, que nos ajuda a calcular fluxos através de superfícies fechadas de forma mais fácil. Para isso, vamos precisar calcular a divergência do campo vetorial e depois integrar essa divergência sobre o volume delimitado pela superfície S.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada de P em relação a x:
  1. Derivada de Q em relação a y:
Primeiro, derivamos em relação a y:
Então,
  1. Derivada de R em relação a z:
Agora, somando todas as derivadas parciais:

Passo 3

Agora que temos a divergência, vamos usar o Teorema da Divergência que nos diz que o fluxo através da superfície fechada S é igual à integral tripla da divergência de F sobre o volume V delimitado por S:
Como a região tem simetria cilíndrica, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas, onde , , e . Nessas coordenadas, temos que e o elemento de volume é .
Vamos reescrever a divergência em coordenadas cilíndricas:

Passo 4

Agora, configuramos os limites de integração. A região V está entre os cilindros de e , e entre e . O ângulo varia de a . Então, a integral tripla fica:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Vamos integrar termo a termo:
  1. Integral de :
Isso porque a integral de de a é zero.
  1. Integral de :
Como z varia de -1 a 2, a integral em z fica:
Então, multiplicando pela integral em r:
  1. Integral de :

Resposta

Somando todos os termos, o fluxo do campo vetorial através da superfície é:

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