Determine o fluxo do campo vetorial através da superfície . Para superfícies fechadas, use a orientação positiva.
, onde e é a parte do cone abaixo do plano com orientação para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o fluxo do campo vetorial através da superfície . Isso envolve cálculo de integrais de superfície, um tópico de cálculo vetorial. Para isso, vamos precisar entender conceitos como campos vetoriais, orientação de superfícies e a definição de fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “campo” que passa por essa superfície. Matemáticamente, é representado por:
Aqui, é um vetor de área que aponta na direção da orientação da superfície.

Passo 3

No nosso caso, o campo vetorial é e a superfície é a parte do cone abaixo do plano com orientação para baixo.

Passo 4

Para calcular o fluxo, vamos parametrizar a superfície . Como é parte de um cone, podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Vamos definir:
Aqui, varia de 0 a 1 (já que ) e varia de 0 a .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o vetor diferencial de área . Em coordenadas cilíndricas, para uma superfície parametrizada por e , temos:
O sinal negativo nas componentes e indica que a orientação é para baixo, conforme o enunciado.

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Substituindo , e :

Passo 7

Agora, vamos integrar isso sobre de 0 a 1 e de 0 a :

Passo 8

Vamos integrar em relação a :

Passo 9

Agora, integramos em relação a :

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é .

Exercícios relacionados

Use o teorema de Stokes para calcular .
e é a parte do cone que está entre os planos, e orientado na direção positiva do eixo y .
Calcule a integral de linha , onde é dada pela função vetorial .
.
Use o teorema de Stokes para calcular .
e é a parte do paraboloide que está acima do plano , com orientação para cima.
Considere uma máquina cujo sistema de representação de números é definido por: , e u . Pede-se:
b) como será representado o número 73.758 nesta máquina, se for usado o arredondamento ? E se for usado o truncamento ?