Determine o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva.
, onde
e
é a parte do cone
abaixo do plano
com orientação para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. Isso envolve cálculo de integrais de superfície, um tópico de cálculo vetorial. Para isso, vamos precisar entender conceitos como campos vetoriais, orientação de superfícies e a definição de fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
mede a quantidade de “campo” que passa por essa superfície. Matemáticamente, é representado por:
Aqui,
é um vetor de área que aponta na direção da orientação da superfície.
Passo 3
No nosso caso, o campo vetorial é
e a superfície
é a parte do cone
abaixo do plano
com orientação para baixo.
Passo 4
Para calcular o fluxo, vamos parametrizar a superfície
. Como
é parte de um cone, podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Vamos definir:
Aqui,
varia de 0 a 1 (já que
) e
varia de 0 a
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o vetor diferencial de área
. Em coordenadas cilíndricas, para uma superfície parametrizada por
e
, temos:
O sinal negativo nas componentes
e
indica que a orientação é para baixo, conforme o enunciado.
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Substituindo
,
e
:
Passo 7
Agora, vamos integrar isso sobre
de 0 a 1 e
de 0 a
:
Passo 8
Vamos integrar em relação a
:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície
é
.
Exercícios relacionados
Use o teorema de Stokes para calcular
.
e
é a parte do cone
que está entre os planos,
e
orientado na direção positiva do eixo y .
Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.
.
Use o teorema de Stokes para calcular
.
e
é a parte do paraboloide
que está acima do plano
, com orientação para cima.
Considere uma máquina cujo sistema de representação de números é definido por:
,
e u
. Pede-se:
b) como será representado o número 73.758 nesta máquina, se for usado o arredondamento ? E se for usado o truncamento ?
b) como será representado o número 73.758 nesta máquina, se for usado o arredondamento ? E se for usado o truncamento ?