Determine o fluxo do campo vetorial F através da superfície S. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva.
integral duplaS F d S, onde F=x i+y j+z^4 k e S é a parte do cone z=raizx^2+y^2 abaixo do plano z=1 com orientação para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o fluxo do campo vetorial através da superfície . Isso envolve cálculo de integrais de superfície, um tópico de cálculo vetorial. Para isso, vamos precisar entender conceitos como campos vetoriais, orientação de superfícies e a definição de fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial integral duplaS F cdot dS através de uma superfície mede a quantidade de “campo” que passa por essa superfície. Matemáticamente, é representado por:
Aqui, é um vetor de área que aponta na direção da orientação da superfície.

Passo 3

No nosso caso, o campo vetorial é e a superfície é a parte do cone abaixo do plano com orientação para baixo.

Passo 4

Para calcular o fluxo, vamos parametrizar a superfície x = r costheta, y = r sintheta, z = r . Como é parte de um cone, podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Vamos definir:
Aqui, varia de 0 a 1 (já que ) e varia de 0 a .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o vetor diferencial de área dS = (-costheta i - sintheta j + k) , r , dr , dtheta . Em coordenadas cilíndricas, para uma superfície parametrizada por e , temos:
O sinal negativo nas componentes e indica que a orientação é para baixo, conforme o enunciado.

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dS = (x)(- costheta) + (y)(- sintheta) + (z^4)(1) :
F cdot dS = (r costheta)(- costheta) + (r sintheta)(- sintheta) + r^4
Substituindo = -r cos^2theta - r sin^2theta + r^4 , = -r (cos^2theta + sin^2theta) + r^4 e = -r (1) + r^4 :
= -r + r^4

Passo 7

Agora, vamos integrar isso sobre integral duplaS F cdot dS = integral0^2pi integral0^1 (-r + r^4) , r , dr , dtheta de 0 a 1 e = integral0^2pi integral0^1 (-r^2 + r^5) , dr , dtheta de 0 a :

Passo 8

Vamos integrar em relação a integral0^1 (-r^2 + r^5) , dr = [ -r^33 + r^66 ]0^1 = -13 + 16 = -16 :

Passo 9

Agora, integramos em relação a integral0^2pi -16 , dtheta = -16 times 2pi = -pi3 :

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é .

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