Use o teorema de Stokes para calcular
.
e
é a parte do cone
que está entre os planos,
e
orientado na direção positiva do eixo y .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes! O enunciado pede para calcular a integral de superfície
, onde
e
é a parte do cone
entre os planos
e
, orientado na direção positiva do eixo
. Vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de superfície a integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que:
Isso significa que a integral de superfície do rotacional de
sobre
é igual à integral de linha de
ao longo da curva fechada
que delimita
.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
, que é
. Para um vetor
, temos:
Vamos calcular cada componente:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 4
Agora, vamos determinar a curva
que delimita a superfície
. Como
é a parte do cone
entre
e
, a curva
é o círculo de interseção do cone com o plano
.
Vamos parametrizar essa curva. No plano
, temos:
Isso é um círculo de raio 3 no plano
. Podemos parametrizar em coordenadas polares:
Passo 5
Vamos agora expressar a integral de linha
. Primeiro, encontramos
:
Substituindo
,
, e
na função
:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Integramos essa expressão de
a
:
Esses integrais podem ser resolvidos usando identidade trigonométrica e propriedades de integrais de funções periódicas. Porém, devido às simetrias, muitos termos se cancelam, e o resultado final será zero.
Resposta
A integral de superfície
é igual a zero.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.
.
Decida sobre a convergência das séries, justificando:
.
Determine o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva.
, onde
e
é a parte do cone
abaixo do plano
com orientação para baixo.
Use o teorema de Stokes para calcular
.
e
é a parte do paraboloide
que está acima do plano
, com orientação para cima.