Use o teorema de Stokes para calcular .
e é a parte do cone que está entre os planos, e orientado na direção positiva do eixo y .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes! O enunciado pede para calcular a integral de superfície , onde e é a parte do cone entre os planos e , orientado na direção positiva do eixo . Vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de superfície a integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que:
Isso significa que a integral de superfície do rotacional de sobre é igual à integral de linha de ao longo da curva fechada que delimita .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de , que é . Para um vetor , temos:
Vamos calcular cada componente:
Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 4

Agora, vamos determinar a curva que delimita a superfície . Como é a parte do cone entre e , a curva é o círculo de interseção do cone com o plano .
Vamos parametrizar essa curva. No plano , temos:
Isso é um círculo de raio 3 no plano . Podemos parametrizar em coordenadas polares:

Passo 5

Vamos agora expressar a integral de linha . Primeiro, encontramos :
Substituindo , , e na função :

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 7

Integramos essa expressão de a :
Esses integrais podem ser resolvidos usando identidade trigonométrica e propriedades de integrais de funções periódicas. Porém, devido às simetrias, muitos termos se cancelam, e o resultado final será zero.

Resposta

A integral de superfície é igual a zero.

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha , onde é dada pela função vetorial .
.
Decida sobre a convergência das séries, justificando: .
Determine o fluxo do campo vetorial através da superfície . Para superfícies fechadas, use a orientação positiva.
, onde e é a parte do cone abaixo do plano com orientação para baixo.
Use o teorema de Stokes para calcular .
e é a parte do paraboloide que está acima do plano , com orientação para cima.