Calcule a integral de linha , onde é dada pela função vetorial .
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha . Isso significa que vamos integrar um campo vetorial ao longo de uma curva .
Matéria envolvida: Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha.
O que precisamos:
  • A função vetorial .
  • A parametrização da curva dada por , onde varia de 0 a 2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular a integral de linha , a gente precisa parametrizar a curva com uma variável, que nesse caso é o . Já temos , então vamos seguir daí.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a , que é . Isso vai nos dar o vetor tangente à curva em cada ponto.

Passo 4

Agora, vamos substituir as coordenadas , e da função pela parametrização :
Substituindo na :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, a integral de linha fica:
Vamos resolver essa integral:
Avaliado de a :

Resposta

A integral de linha vale 64.

Exercícios relacionados

Decida sobre a convergência das séries, justificando: .
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Use o teorema de Stokes para calcular .
e é a parte do cone que está entre os planos, e orientado na direção positiva do eixo y .
Determine o fluxo do campo vetorial através da superfície . Para superfícies fechadas, use a orientação positiva.
, onde e é a parte do cone abaixo do plano com orientação para baixo.