Calcule a integral de linha integralC F d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
F(x, y, z)=(y z) i+(x z) j+(x y) k, r(t)=(t) i+(t^2) j+(t^3) k, 0 <= t <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha . Isso significa que vamos integrar um campo vetorial ao longo de uma curva .
Matéria envolvida: Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha.
O que precisamos:
  • A função vetorial .
  • A parametrização da curva dada por , onde varia de 0 a 2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular a integral de linha , a gente precisa parametrizar a curva com uma variável, que nesse caso é o . Já temos , então vamos seguir daí.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de drdt = ddt [t,i + t^2,j + t^3,k] = i + 2t,j + 3t^2,k em relação a , que é . Isso vai nos dar o vetor tangente à curva em cada ponto.

Passo 4

Agora, vamos substituir as coordenadas x = t, y = t^2, z = t^3 , F(t) = (t^2 cdot t^3),i + (t cdot t^3),j + (t cdot t^2),k = t^5,i + t^4,j + t^3,k e da função pela parametrização :
Substituindo na :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F(t) cdot drdt = t^5 cdot 1 + t^4 cdot 2t + t^3 cdot 3t^2 = t^5 + 2t^5 + 3t^5 = 6t^5 :

Passo 6

Agora, a integral de linha fica:
integralC F cdot dr = integral0^2 6t^5 , dt
Vamos resolver essa integral:
integral 6t^5 , dt = 6 cdot t^66 = t^6
Avaliado de 2^6 - 0^6 = 64 - 0 = 64 a :

Resposta

A integral de linha vale 64.

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