Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha
. Isso significa que vamos integrar um campo vetorial
ao longo de uma curva
.
Matéria envolvida: Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha.
O que precisamos:
- A função vetorial
. - A parametrização da curva
dada por , onde varia de 0 a 2.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para calcular a integral de linha
, a gente precisa parametrizar a curva
com uma variável, que nesse caso é o
. Já temos
, então vamos seguir daí.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
, que é
. Isso vai nos dar o vetor tangente à curva em cada ponto.
Passo 4
Agora, vamos substituir as coordenadas
,
e
da função
pela parametrização
:
Substituindo na
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, a integral de linha fica:
Vamos resolver essa integral:
Avaliado de
a
:
Resposta
A integral de linha
vale 64.
Exercícios relacionados
Decida sobre a convergência das séries, justificando:
.
Decida sobre a convergência das séries, justificando:
.
Use o teorema de Stokes para calcular
.
e
é a parte do cone
que está entre os planos,
e
orientado na direção positiva do eixo y .
Determine o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva.
, onde
e
é a parte do cone
abaixo do plano
com orientação para baixo.