(I)Determine um vetor ortogonal ao plano que passa pelos pontos e ;
(II)Calcule a área do triângulo .
P( .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede duas coisas: primeiro, encontrar um vetor que seja ortogonal ao plano formado pelos pontos P, Q e R. Segundo, calcular a área do triângulo formado por esses pontos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, como vetores no espaço, produto vetorial e cálculo de áreas de triângulos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano formado por P, Q e R. Vamos usar os vetores PQ e PR. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:
PR = R - P = (4 - 0, 3 - 0, 7 - 0) = (4, 3, 7)
Passo 3
Agora, para encontrar um vetor ortogonal ao plano, usamos o produto vetorial dos vetores PQ e PR. O produto vetorial entre dois vetores a times b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1) e PQ times PR = i & j & k 1 & -1 & 1 4 & 3 & 7 é dado por: