(I)Determine um vetor ortogonal ao plano que passa pelos pontos P, Q e R;
(II)Calcule a área do triângulo PQR.
P( 0,0,0), Q(1,-1,1), R(4,3,7).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede duas coisas: primeiro, encontrar um vetor que seja ortogonal ao plano formado pelos pontos P, Q e R. Segundo, calcular a área do triângulo formado por esses pontos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, como vetores no espaço, produto vetorial e cálculo de áreas de triângulos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano formado por P, Q e R. Vamos usar os vetores PQ e PR. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:
PQ = Q - P = (1 - 0, -1 - 0, 1 - 0) = (1, -1, 1)
PR = R - P = (4 - 0, 3 - 0, 7 - 0) = (4, 3, 7)

Passo 3

Agora, para encontrar um vetor ortogonal ao plano, usamos o produto vetorial dos vetores PQ e PR. O produto vetorial entre dois vetores a times b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1) e PQ times PR = i & j & k 1 & -1 & 1 4 & 3 & 7 é dado por:
i(-1 cdot 7 - 1 cdot 3) - j(1 cdot 7 - 1 cdot 4) + k(1 cdot 3 - (-1) cdot 4) = i(-7 - 3) - j(7 - 4) + k(3 + 4) = -10i - 3j + 7k
Aplicando isso aos nossos vetores:
Calculando detalhadamente:
Então, o vetor ortogonal é .

Passo 4

Agora, para calcular a área do triângulo PQR, usamos a fórmula que envolve o produto vetorial:
Área = 12 |PQ times PR| Á
Primeiro, calculamos a magnitude do vetor ortogonal que encontramos:
|PQ times PR| = raiz(-10)^2 + (-3)^2 + 7^2 = raiz100 + 9 + 49 = raiz158
Então, a área do triângulo é:
Área = 12 times raiz158 approx 12 times 12,57 approx 6,29 Á

Resposta

(I) Um vetor ortogonal ao plano é .
(II) A área do triângulo PQR é aproximadamente unidades de área.

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