Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
(d) S=(2,1,3),(0,0,0),(1,5,2), V=R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de vetores no espaço . A pergunta é: esse conjunto é linearmente independente (L.I.) ou dependente (L.D.)? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser linearmente independente ou dependente e aplicar esses conceitos aos vetores que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar rapidinho sobre o que é um conjunto de vetores ser linearmente independente ou dependente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Ou seja, não tem redundância ali.
Por outro lado, o conjunto é linearmente dependente se pelo menos um vetor do conjunto pode ser expresso como uma combinação linear dos outros. Isso significa que tem uma certa “repetição” ou “dependência” entre eles.

Passo 3

Agora, vamos ver como aplicar isso no nosso caso. Olha só o conjunto . Dá para notar que temos o vetor , que é o vetor nulo.
Um ponto super importante na teoria é que qualquer conjunto de vetores que inclui o vetor nulo é automaticamente linearmente dependente. Por quê? Porque o vetor nulo pode ser expresso como qualquer vetor, ou seja, já é uma combinação linear trivial dos vetores do conjunto.

Passo 4

Então, como temos o vetor no nosso conjunto , podemos concluir que ele é linearmente dependente sem precisar fazer mais contas ou análises.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

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