Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de vetores
no espaço
. A pergunta é: esse conjunto é linearmente independente (L.I.) ou dependente (L.D.)? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser linearmente independente ou dependente e aplicar esses conceitos aos vetores que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos falar rapidinho sobre o que é um conjunto de vetores ser linearmente independente ou dependente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Ou seja, não tem redundância ali.
Por outro lado, o conjunto é linearmente dependente se pelo menos um vetor do conjunto pode ser expresso como uma combinação linear dos outros. Isso significa que tem uma certa “repetição” ou “dependência” entre eles.
Passo 3
Agora, vamos ver como aplicar isso no nosso caso. Olha só o conjunto
. Dá para notar que temos o vetor
, que é o vetor nulo.
Um ponto super importante na teoria é que qualquer conjunto de vetores que inclui o vetor nulo é automaticamente linearmente dependente. Por quê? Porque o vetor nulo pode ser expresso como
qualquer vetor, ou seja, já é uma combinação linear trivial dos vetores do conjunto.
Passo 4
Então, como temos o vetor
no nosso conjunto
, podemos concluir que ele é linearmente dependente sem precisar fazer mais contas ou análises.
Resposta
O conjunto
é linearmente dependente.