Determine a força que duas linhas infinitas de carga exercem sobre a carga Q=9 nC, que está localizada no ponto (x=0, y=0, z=4). Uma linha de carga está sobre o eixo y e possui uma densidade linear de carga rhoL=-9 nC. A outra linha de carga está paralela ao eixo z , passando pelo ponto (x=4, y=0, z=0 ) e possui uma densidade linear de carga rhoL=9 nC.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a força que duas linhas infinitas de carga exercem sobre uma carga pontual Q=9 nC localizada no ponto (0, 0, 4). Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre campos elétricos gerados por linhas de carga. Para resolver isso, precisamos calcular o campo elétrico gerado por cada linha no ponto onde a carga Q está e depois usar a fórmula da força elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a linha de carga que está sobre o eixo y com densidade linear de carga rhoL=-9 nC/m. Para uma linha infinita de carga, o campo elétrico em um ponto a uma distância r da linha é dado por:
E = rhoL2pi varepsilon0 r
Aqui, varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo, aproximadamente 8,85 times 10^-12 , C^2/(N cdot m^2). A direção do campo elétrico é perpendicular à linha de carga. Como a densidade de carga é negativa, o campo elétrico aponta em direção à linha.
No nosso caso, a carga Q está a uma distância r=4 , m da linha de carga no eixo y (já que z=4). Então, o campo elétrico devido a essa linha é:
E1 = -9 times 10^-92pi times 8,85 times 10^-12 times 4 approx -1,02 times 10^3 , N/C
A direção desse campo é radialmente para a linha de carga no eixo y, ou seja, na direção negativa do eixo z.

Passo 3

Agora, vamos considerar a segunda linha de carga que é paralela ao eixo z e passa pelo ponto (4, 0, 0) com densidade linear de carga rhoL=9 nC/m. A distância da carga Q até essa linha também é r=4 , m (já que a carga está em (0,0,4) e a linha passa por (4,0,0)).
Usando a mesma fórmula para o campo elétrico:
E2 = 9 times 10^-92pi times 8,85 times 10^-12 times 4 approx 1,02 times 10^3 , N/C
Como a densidade de carga é positiva, o campo elétrico aponta para fora da linha, ou seja, na direção negativa do eixo x.

Passo 4

Agora, precisamos somar os campos elétricos vetorialmente. O campo E1 aponta na direção negativa do eixo z e o campo E2 aponta na direção negativa do eixo x. Como esses campos são perpendiculares entre si, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o campo resultante:
Etotal = raizE1^2 + E2^2 = raiz(1,02 times 10^3)^2 + (1,02 times 10^3)^2 approx 1,44 times 10^3 , N/C
A direção do campo resultante forma um ângulo de 45^circ abaixo dos eixos x e z.

Passo 5

Finalmente, para encontrar a força elétrica exercida sobre a carga Q, usamos a fórmula:
F = Q cdot Etotal
Substituindo os valores:
F = 9 times 10^-9 cdot 1,44 times 10^3 approx 1,30 times 10^-5 , N
A direção da força será a mesma do campo elétrico resultante, ou seja, formando um ângulo de 45^circ abaixo dos eixos x e z.

Resposta

A força exercida sobre a carga Q é aproximadamente 1,30 times 10^-5 , N, direcionada a 45^circ abaixo dos eixos x e z.

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