Determine a força que duas linhas infinitas de carga exercem sobre a carga
, que está localizada no ponto
. Uma linha de carga está sobre o eixo y e possui uma densidade linear de carga
. A outra linha de carga está paralela ao eixo z , passando pelo ponto
) e possui uma densidade linear de carga
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a força que duas linhas infinitas de carga exercem sobre uma carga pontual
localizada no ponto
. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre campos elétricos gerados por linhas de carga. Para resolver isso, precisamos calcular o campo elétrico gerado por cada linha no ponto onde a carga
está e depois usar a fórmula da força elétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a linha de carga que está sobre o eixo y com densidade linear de carga
. Para uma linha infinita de carga, o campo elétrico em um ponto a uma distância
da linha é dado por:
Aqui,
é a constante de permissividade do vácuo, aproximadamente
. A direção do campo elétrico é perpendicular à linha de carga. Como a densidade de carga é negativa, o campo elétrico aponta em direção à linha.
No nosso caso, a carga
está a uma distância
da linha de carga no eixo y (já que
). Então, o campo elétrico devido a essa linha é:
A direção desse campo é radialmente para a linha de carga no eixo y, ou seja, na direção negativa do eixo z.
Passo 3
Agora, vamos considerar a segunda linha de carga que é paralela ao eixo z e passa pelo ponto
com densidade linear de carga
. A distância da carga
até essa linha também é
(já que a carga está em
e a linha passa por
).
Usando a mesma fórmula para o campo elétrico:
Como a densidade de carga é positiva, o campo elétrico aponta para fora da linha, ou seja, na direção negativa do eixo x.
Passo 4
Agora, precisamos somar os campos elétricos vetorialmente. O campo
aponta na direção negativa do eixo z e o campo
aponta na direção negativa do eixo x. Como esses campos são perpendiculares entre si, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o campo resultante:
A direção do campo resultante forma um ângulo de
abaixo dos eixos x e z.
Passo 5
Finalmente, para encontrar a força elétrica exercida sobre a carga
, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
A direção da força será a mesma do campo elétrico resultante, ou seja, formando um ângulo de
abaixo dos eixos x e z.
Resposta
A força exercida sobre a carga
é aproximadamente
, direcionada a
abaixo dos eixos x e z.