Uma corda de comprimento
e densidade
) é pendurada em uma polia de tal forma a não haver movimento. Um objeto de massa
é anexado na extremidade direita da corda iniciando assim o movimento devido ao desequilíbrio de forças atuando no sistema (corda+objeto). No instante que a extremidade esquerda da corda abandonar a polia, qual seria a velocidade
do sistema? (1 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma corda de comprimento
e densidade
pendurada em uma polia. Inicialmente, a corda está parada porque as forças estão equilibradas. Aí, você coloca um objeto de massa
na extremidade direita, o que faz a corda começar a se mover porque agora tem um desequilíbrio de forças. Nosso objetivo é descobrir qual será a velocidade
do sistema quando a extremidade esquerda da corda soltar a polia. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica, especificamente as leis de Newton e talvez um pouquinho de conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as forças que atuam no sistema. A massa
puxa a corda para baixo devido à gravidade, com uma força de
, onde
é a aceleração da gravidade (
). A corda tem massa
, então também tem um peso distribuído ao longo do seu comprimento.
Passo 3
Quando a corda começa a se mover, parte dela está acelerando. No instante em que a extremidade esquerda solta a polia, toda a corda está em movimento. Então, a massa total que está sendo acelerada é a combinação da massa da corda (
) e da massa do objeto (
). A força resultante que causa essa aceleração é a força da gravidade no objeto menos a força da gravidade na corda.
Passo 4
Vamos usar a segunda lei de Newton, que diz que
, onde
é a aceleração. A força líquida no sistema é
. A massa total que está sendo acelerada é
. Então, podemos escrever:
Passo 5
Agora, para encontrar a velocidade
, precisamos considerar o tempo durante o qual a força atua ou relacionar a aceleração com a distância. Como a corda está movendo desde o início até o instante em que a extremidade solta a polia, podemos assumir que a aceleração foi constante. Se considerarmos que a velocidade final
é resultado da aceleração
ao longo de um certo tempo
, teríamos
. Porém, como não temos o tempo, podemos usar a energia potencial convertida em energia cinética.
Passo 6
A energia potencial perdida pelo objeto e pela corda é convertida em energia cinética do sistema. A energia potencial do objeto é
e da corda é
, onde
é a altura. A energia cinética total é
. Igualando as energias:
Supondo que
, simplificamos para encontrar
.
Resposta
Após simplificar os cálculos, a velocidade
do sistema no instante que a extremidade esquerda da corda abandona a polia é: