Uma corda de comprimento L e densidade (lambda=ML ) é pendurada em uma polia de tal forma a não haver movimento. Um objeto de massa m é anexado na extremidade direita da corda iniciando assim o movimento devido ao desequilíbrio de forças atuando no sistema (corda+objeto). No instante que a extremidade esquerda da corda abandonar a polia, qual seria a velocidade v do sistema? (1 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma corda de comprimento e densidade pendurada em uma polia. Inicialmente, a corda está parada porque as forças estão equilibradas. Aí, você coloca um objeto de massa na extremidade direita, o que faz a corda começar a se mover porque agora tem um desequilíbrio de forças. Nosso objetivo é descobrir qual será a velocidade do sistema quando a extremidade esquerda da corda soltar a polia. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica, especificamente as leis de Newton e talvez um pouquinho de conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as forças que atuam no sistema. A massa puxa a corda para baixo devido à gravidade, com uma força de , onde é a aceleração da gravidade ( ). A corda tem massa , então também tem um peso distribuído ao longo do seu comprimento.

Passo 3

Quando a corda começa a se mover, parte dela está acelerando. No instante em que a extremidade esquerda solta a polia, toda a corda está em movimento. Então, a massa total que está sendo acelerada é a combinação da massa da corda ( ) e da massa do objeto ( ). A força resultante que causa essa aceleração é a força da gravidade no objeto menos a força da gravidade na corda.

Passo 4

Vamos usar a segunda lei de Newton, que diz que a = Fm + M = m cdot g - lambda cdot L cdot gm + M , onde é a aceleração. A força líquida no sistema é . A massa total que está sendo acelerada é . Então, podemos escrever:

Passo 5

Agora, para encontrar a velocidade , precisamos considerar o tempo durante o qual a força atua ou relacionar a aceleração com a distância. Como a corda está movendo desde o início até o instante em que a extremidade solta a polia, podemos assumir que a aceleração foi constante. Se considerarmos que a velocidade final é resultado da aceleração ao longo de um certo tempo , teríamos . Porém, como não temos o tempo, podemos usar a energia potencial convertida em energia cinética.

Passo 6

A energia potencial perdida pelo objeto e pela corda é convertida em energia cinética do sistema. A energia potencial do objeto é m cdot g cdot h + 12 lambda cdot g cdot L cdot h = 12 (m + M) cdot v^2 e da corda é , onde é a altura. A energia cinética total é . Igualando as energias:
Supondo que , simplificamos para encontrar .

Resposta

Após simplificar os cálculos, a velocidade v = raiz2 m g Lm + M do sistema no instante que a extremidade esquerda da corda abandona a polia é:

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