Uma linha infinita de carga está localizada ao longo do eixo
e possui uma densidade linear de carga igual a pl. Um plano infinito de cargas, localizado no plano
, possui uma densidade superficial de carga igual a
. Determine os valores das densidades
de modo que o campo elétrico total no ponto (
), produzido por essas duas distribuições de cargas, seja igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de eletrostática envolvendo duas distribuições de carga: uma linha infinita de carga ao longo do eixo
com densidade linear
, e um plano infinito de carga no plano
com densidade superficial
. Precisamos descobrir os valores de
e
de forma que o campo elétrico total no ponto
seja
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos elétricos gerados por linhas e planos infinitos de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por uma linha infinita de carga. A fórmula é:
Aqui,
é a densidade linear de carga,
é a permissividade do vácuo,
é a distância do ponto onde estamos calculando o campo até a linha de carga, e
é o vetor unitário na direção radial a partir da linha de carga.
Passo 3
Agora, vamos ver o campo elétrico devido a um plano infinito de carga. A fórmula é mais simples:
Aqui,
é a densidade superficial de carga, e
é o vetor unitário perpendicular ao plano de carga, apontando para fora.
Passo 4
Vamos determinar as direções dos campos elétricos no ponto dado. Para a linha de carga no eixo
, o campo elétrico vai radialmente para fora ou para dentro do eixo
, dependendo do sinal de
. No ponto
, a distância
até o eixo
é calculada pela projeção no plano
, que é
. A direção do campo devido à linha estará na direção positiva do
se
for positiva.
Para o plano de carga no
, a distância vertical até o ponto
é
. O campo elétrico devido a esse plano será na direção positiva do
se
for positiva.
Passo 5
Agora, vamos expressar os componentes do campo elétrico total no ponto:
Sabemos que
.
Substituindo as expressões dos campos:
Passo 6
Agora, igualamos os componentes correspondentes:
Para o eixo
:
Para o eixo
:
Resolvendo para
:
E para
:
Resposta
As densidades são
e
.