Uma linha infinita de carga está localizada ao longo do eixo e possui uma densidade linear de carga igual a pl. Um plano infinito de cargas, localizado no plano , possui uma densidade superficial de carga igual a . Determine os valores das densidades de modo que o campo elétrico total no ponto ( ), produzido por essas duas distribuições de cargas, seja igual a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de eletrostática envolvendo duas distribuições de carga: uma linha infinita de carga ao longo do eixo com densidade linear , e um plano infinito de carga no plano com densidade superficial . Precisamos descobrir os valores de e de forma que o campo elétrico total no ponto seja . Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos elétricos gerados por linhas e planos infinitos de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por uma linha infinita de carga. A fórmula é:
Aqui, é a densidade linear de carga, é a permissividade do vácuo, é a distância do ponto onde estamos calculando o campo até a linha de carga, e é o vetor unitário na direção radial a partir da linha de carga.

Passo 3

Agora, vamos ver o campo elétrico devido a um plano infinito de carga. A fórmula é mais simples:
Aqui, é a densidade superficial de carga, e é o vetor unitário perpendicular ao plano de carga, apontando para fora.

Passo 4

Vamos determinar as direções dos campos elétricos no ponto dado. Para a linha de carga no eixo , o campo elétrico vai radialmente para fora ou para dentro do eixo , dependendo do sinal de . No ponto , a distância até o eixo é calculada pela projeção no plano , que é . A direção do campo devido à linha estará na direção positiva do se for positiva.
Para o plano de carga no , a distância vertical até o ponto é . O campo elétrico devido a esse plano será na direção positiva do se for positiva.

Passo 5

Agora, vamos expressar os componentes do campo elétrico total no ponto:
Sabemos que .
Substituindo as expressões dos campos:

Passo 6

Agora, igualamos os componentes correspondentes:
Para o eixo :
Para o eixo :
Resolvendo para :
E para :

Resposta

As densidades são e .

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