Uma linha infinita de carga está localizada ao longo do eixo x e possui uma densidade linear de carga igual a pl. Um plano infinito de cargas, localizado no plano Y=-4, possui uma densidade superficial de carga igual a rhos. Determine os valores das densidades rhoL e rhoS de modo que o campo elétrico total no ponto ( x=5, y=0, z=10 ), produzido por essas duas distribuições de cargas, seja igual a barE=6 baray+18 baraz V / m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de eletrostática envolvendo duas distribuições de carga: uma linha infinita de carga ao longo do eixo x com densidade linear rhoL, e um plano infinito de carga no plano y = -4 com densidade superficial rhoS. Precisamos descobrir os valores de rhoL e rhoS de forma que o campo elétrico total no ponto (x=5, y=0, z=10) seja barE = 6,baray + 18,baraz, V/m. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos elétricos gerados por linhas e planos infinitos de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por uma linha infinita de carga. A fórmula é:
barElinha = rhoL2pivarepsilon0 r r
Aqui, rhoL é a densidade linear de carga, varepsilon0 é a permissividade do vácuo, r é a distância do ponto onde estamos calculando o campo até a linha de carga, e r é o vetor unitário na direção radial a partir da linha de carga.

Passo 3

Agora, vamos ver o campo elétrico devido a um plano infinito de carga. A fórmula é mais simples:
barEplano = rhoS2varepsilon0 n
Aqui, rhoS é a densidade superficial de carga, e n é o vetor unitário perpendicular ao plano de carga, apontando para fora.

Passo 4

Vamos determinar as direções dos campos elétricos no ponto dado. Para a linha de carga no eixo x, o campo elétrico vai radialmente para fora ou para dentro do eixo x, dependendo do sinal de rhoL. No ponto (5, 0, 10), a distância r até o eixo x é calculada pela projeção no plano yz, que é raiz0^2 + 10^2 = 10, m. A direção do campo devido à linha estará na direção positiva do z se rhoL for positiva.
Para o plano de carga no y = -4, a distância vertical até o ponto y=0 é 4, m. O campo elétrico devido a esse plano será na direção positiva do y se rhoS for positiva.

Passo 5

Agora, vamos expressar os componentes do campo elétrico total no ponto:
barEtotal = barElinha + barEplano
Sabemos que barEtotal = 6,baray + 18,baraz, V/m.
Substituindo as expressões dos campos:
rhoL2pivarepsilon0 times 10 baraz + rhoS2varepsilon0 baray = 6,baray + 18,baraz

Passo 6

Agora, igualamos os componentes correspondentes:
Para o eixo y:
rhoS2varepsilon0 = 6
Para o eixo z:
rhoL2pivarepsilon0 times 10 = 18
Resolvendo para rhoS:
rhoS = 6 times 2varepsilon0 = 12varepsilon0
E para rhoL:
rhoL = 18 times 2pi times 10 times varepsilon0 = 360pivarepsilon0

Resposta

As densidades são rhoS = 12,varepsilon0 e rhoL = 360pi,varepsilon0.

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