Determine quais das forças abaixo são conservativas e ache as respectivas energias potencias( a e b são constantes e a é um vetor constante)
F=(a x+b y^2) i+(a z+2 x b y) j+(a y+b z^2) k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física que pede para determinar quais forças são conservativas e encontrar suas energias potenciais. A força dada é:
F = (a x + b y^2) i + (a z + 2 x b y) j + (a y + b z^2) k
Aqui, a e b são constantes, e a é um vetor constante. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é uma força conservativa e como encontrar a energia potencial associada a ela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma força conservativa. Basicamente, uma força é conservativa se o trabalho que ela faz não depende do caminho seguido, mas apenas dos pontos inicial e final. Matematicamente, isso significa que o rotacional da força deve ser zero:
nabla times F = 0
Então, nosso primeiro passo é calcular o rotacional de F.

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional nabla times F. Usando a definição:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos calcular cada termo:
  1. Componente i:
    partial Fzpartial y = partialpartial y(a y + b z^2) = a partial Fypartial z = partialpartial z(a z + 2 x b y) = a
    Então, partial Fzpartial y - partial Fypartial z = a - a = 0
  2. Componente j:
    partial Fxpartial z = partialpartial z(a x + b y^2) = 0 partial Fzpartial x = partialpartial x(a y + b z^2) = 0
    Então, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = 0 - 0 = 0
  3. Componente k:
    partial Fypartial x = partialpartial x(a z + 2 x b y) = 2 b y partial Fxpartial y = partialpartial y(a x + b y^2) = 2 b y
    Então, partial Fypartial x - partial Fxpartial y = 2 b y - 2 b y = 0
Portanto, o rotacional de F é zero em todas as componentes.

Passo 4

Como o rotacional de F é zero, isso significa que a força é conservativa. Agora, vamos encontrar a energia potencial U tal que:
F = -nabla U
Isso significa que:
Fx = -partial Upartial x, Fy = -partial Upartial y, Fz = -partial Upartial z
Vamos integrar cada componente para encontrar U.

Passo 5

Vamos integrar Fx em relação a x:
Fx = a x + b y^2 = -partial Upartial x Rightarrow partial Upartial x = -a x - b y^2 Rightarrow U = -a2 x^2 - b y^2 x + g(y, z)
Agora, diferencie U em relação a y e iguale a Fy:
Fy = a z + 2 x b y = -partial Upartial y Rightarrow partial Upartial y = -a z - 2 x b y
A derivada de U que já temos:
partial Upartial y = -2 b y x + partial gpartial y
Igualando:
-2 b y x + partial gpartial y = -a z - 2 b y x Rightarrow partial gpartial y = -a z
Integrando em relação a y:
g(y, z) = -a z y + h(z)
Agora, substituindo de volta em U:
U = -a2 x^2 - b y^2 x - a z y + h(z)
Finalmente, diferenciamos U em relação a z e igualamos a Fz:
Fz = a y + b z^2 = -partial Upartial z Rightarrow partial Upartial z = -a y - 2 b z^2
A derivada de U que já temos:
partial Upartial z = -a y + d hd z
Igualando:
-a y + d hd z = -a y - 2 b z^2 Rightarrow d hd z = -2 b z^2
Integrando em relação a z:
h(z) = -2 b3 z^3 + C
Onde C é a constante de integração. Substituindo de volta em U:
U = -a2 x^2 - b y^2 x - a z y - 2 b3 z^3 + C

Resposta

A força F é conservativa, e a energia potencial associada é:
U = -a2 x^2 - b y^2 x - a z y - 2 b3 z^3 + C
onde C é uma constante arbitrária.

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