Determine quais das forças abaixo são conservativas e ache as respectivas energias potencias(
e
são constantes e
é um vetor constante)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física que pede para determinar quais forças são conservativas e encontrar suas energias potenciais. A força dada é:
Aqui,
e
são constantes, e
é um vetor constante. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é uma força conservativa e como encontrar a energia potencial associada a ela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma força conservativa. Basicamente, uma força é conservativa se o trabalho que ela faz não depende do caminho seguido, mas apenas dos pontos inicial e final. Matematicamente, isso significa que o rotacional da força deve ser zero:
Então, nosso primeiro passo é calcular o rotacional de
.
Passo 3
Vamos calcular cada componente do rotacional
. Usando a definição:
Vamos calcular cada termo:
-
Componente i:Então,
-
Componente j:Então,
-
Componente k:Então,
Portanto, o rotacional de
é zero em todas as componentes.
Passo 4
Como o rotacional de
é zero, isso significa que a força é conservativa. Agora, vamos encontrar a energia potencial
tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar cada componente para encontrar
.
Passo 5
Vamos integrar
em relação a
:
Agora, diferencie
em relação a
e iguale a
:
A derivada de
que já temos:
Igualando:
Integrando em relação a
:
Agora, substituindo de volta em
:
Finalmente, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
A derivada de
que já temos:
Igualando:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Substituindo de volta em
:
Resposta
A força
é conservativa, e a energia potencial associada é:
onde
é uma constante arbitrária.
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A respeito das afirmações a seguir, marque com
as alternativas que julgar verdadeiras e com (F) as alternativas que julgar falsas. As alternativas julgadas falsas deverão ser justificadas para serem avaliadas. ( 1,2 pontos)
( ) Enquanto a deformação específica tem proporção direta com a tensão normal, por meio do módulo de elasticidade (E), a distorção tem proporção com a tensão de cisalhamento tendo como constante da relação o módulo de elasticidade transversal (G).
( ) Enquanto a deformação específica tem proporção direta com a tensão normal, por meio do módulo de elasticidade (E), a distorção tem proporção com a tensão de cisalhamento tendo como constante da relação o módulo de elasticidade transversal (G).