Determine quais das forças abaixo são conservativas e ache as respectivas energias potencias( e são constantes e é um vetor constante)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física que pede para determinar quais forças são conservativas e encontrar suas energias potenciais. A força dada é:
Aqui, e são constantes, e é um vetor constante. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é uma força conservativa e como encontrar a energia potencial associada a ela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma força conservativa. Basicamente, uma força é conservativa se o trabalho que ela faz não depende do caminho seguido, mas apenas dos pontos inicial e final. Matematicamente, isso significa que o rotacional da força deve ser zero:
Então, nosso primeiro passo é calcular o rotacional de .

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional . Usando a definição:
Vamos calcular cada termo:
  1. Componente i:
    Então,
  2. Componente j:
    Então,
  3. Componente k:
    Então,
Portanto, o rotacional de é zero em todas as componentes.

Passo 4

Como o rotacional de é zero, isso significa que a força é conservativa. Agora, vamos encontrar a energia potencial tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar cada componente para encontrar .

Passo 5

Vamos integrar em relação a :
Agora, diferencie em relação a e iguale a :
A derivada de que já temos:
Igualando:
Integrando em relação a :
Agora, substituindo de volta em :
Finalmente, diferenciamos em relação a e igualamos a :
A derivada de que já temos:
Igualando:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração. Substituindo de volta em :

Resposta

A força é conservativa, e a energia potencial associada é:
onde é uma constante arbitrária.

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