Determine quais das forças abaixo são conservativas e ache as respectivas energias potencias( e são constantes e é um vetor constante)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir quais das forças apresentadas são conservativas e, se forem, encontrar suas energias potenciais. A força que estamos analisando é dada por:
Aqui, é um vetor constante e e são constantes também. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma força conservativa e como identificar se essa força específica é conservativa. Além disso, se for, vamos achar a energia potencial associada a ela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma força conservativa. Uma força é considerada conservativa se o trabalho que ela realiza não depende do caminho seguido, mas apenas do ponto inicial e final. Isso significa que a força pode ser derivada de uma energia potencial. Matemáticamente, uma força é conservativa se existir uma função escalar tal que:
Outra maneira de verificar se uma força é conservativa é calculando o rotacional da força. Se o rotacional for zero, ou seja, , então a força é conservativa.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional da força . Primeiro, lembrando que é um vetor constante, temos:
Usando a identidade vetorial para o rotacional de um produto escalar por um vetor constante:
onde e .
Calculando :
Então:
Como o rotacional é zero, a força é conservativa.

Passo 4

Agora que sabemos que a força é conservativa, vamos encontrar a energia potencial . Sabemos que:
Então, podemos integrar a força para encontrar . Vamos integrar ao longo de alguma trajetória conveniente, por exemplo, ao longo de uma linha reta.
Primeiro, escrevemos :
Queremos encontrar tal que:
Isso implica que:
Para encontrar , vamos integrar:
Como é constante, podemos simplificar a integral:
Onde é a constante de integração, que geralmente podemos considerar zero se definirmos em alguma referência.

Resposta

A força é conservativa, e sua energia potencial associada é:

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A respeito das afirmações a seguir, marque com as alternativas que julgar verdadeiras e com (F) as alternativas que julgar falsas. As alternativas julgadas falsas deverão ser justificadas para serem avaliadas. ( 1,2 pontos)
( ) Enquanto a deformação específica tem proporção direta com a tensão normal, por meio do módulo de elasticidade (E), a distorção tem proporção com a tensão de cisalhamento tendo como constante da relação o módulo de elasticidade transversal (G).
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( ) Linha Neutra é o ponto da seção transversal que a tensão devido a flexão é nula send necessariamente no centro de gravidade da figura.