Determine quais das forças abaixo são conservativas e ache as respectivas energias potencias( a e b são constantes e a é um vetor constante)
F=(a cdot r) a

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir quais das forças apresentadas são conservativas e, se forem, encontrar suas energias potenciais. A força que estamos analisando é dada por:
F = (a cdot r) a
Aqui, a é um vetor constante e a e b são constantes também. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma força conservativa e como identificar se essa força específica é conservativa. Além disso, se for, vamos achar a energia potencial associada a ela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma força conservativa. Uma força é considerada conservativa se o trabalho que ela realiza não depende do caminho seguido, mas apenas do ponto inicial e final. Isso significa que a força pode ser derivada de uma energia potencial. Matemáticamente, uma força F é conservativa se existir uma função escalar U tal que:
F = -nabla U
Outra maneira de verificar se uma força é conservativa é calculando o rotacional da força. Se o rotacional for zero, ou seja, nabla times F = 0, então a força é conservativa.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional da força F = (a cdot r) a. Primeiro, lembrando que a é um vetor constante, temos:
nabla times F = nabla times [(a cdot r) a]
Usando a identidade vetorial para o rotacional de um produto escalar por um vetor constante:
nabla times (phi A) = nabla phi times A
onde phi = a cdot r e A = a.
Calculando nabla phi:
nabla (a cdot r) = a
Então:
nabla times F = a times a = 0
Como o rotacional é zero, a força F é conservativa.

Passo 4

Agora que sabemos que a força é conservativa, vamos encontrar a energia potencial U. Sabemos que:
F = -nabla U
Então, podemos integrar a força para encontrar U. Vamos integrar ao longo de alguma trajetória conveniente, por exemplo, ao longo de uma linha reta.
Primeiro, escrevemos F:
F = (a cdot r) a
Queremos encontrar U tal que:
-nabla U = (a cdot r) a
Isso implica que:
nabla U = -(a cdot r) a
Para encontrar U, vamos integrar:
U = -integral (a cdot r) (a cdot dr)
Como a é constante, podemos simplificar a integral:
U = -12 (a cdot r)^2 + C
Onde C é a constante de integração, que geralmente podemos considerar zero se definirmos U = 0 em alguma referência.

Resposta

A força F = (a cdot r) a é conservativa, e sua energia potencial associada é:
U = -12 (a cdot r)^2

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