Determine quais das forças abaixo são conservativas e ache as respectivas energias potencias( a e b são constantes e a é um vetor constante)
F=r a

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a força dada é conservativa e, se for, encontrar a energia potencial associada. Estamos trabalhando com vetores e conceitos de força conservativa da física, então vamos precisar entender o que significa uma força ser conservativa e como calcular a energia potencial a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma força conservativa. Uma força é considerada conservativa se o trabalho que ela realiza não depende do caminho percorrido, mas somente das posições inicial e final. Exemplos clássicos de forças conservativas são a força gravitacional e a força elástica de uma mola.

Passo 3

Para verificar se a força nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k é conservativa, podemos calcular seu rotacional (curl). Se o rotacional for zero, a força é conservativa. O rotacional de um campo de força é dado por:

Passo 4

No nosso caso, F = r ax i + r ay j + r az k , onde nabla times F = ( partial (r az)partial y - partial (r ay)partial z ) i + ( partial (r ax)partial z - partial (r az)partial x ) j + ( partial (r ay)partial x - partial (r ax)partial y ) k é a coordenada radial e é um vetor constante. Vamos assumir que estamos trabalhando em coordenadas cartesianas para facilitar.
Então, podemos escrever:
Onde , , e são as componentes de .
Agora, vamos calcular o rotacional:
Como , e são constantes, as derivadas parciais vão simplificar.

Passo 5

Calculando cada termo:
partial (r az)partial y = az partial rpartial y
partial (r ay)partial z = ay partial rpartial z
partial (r ax)partial z = ax partial rpartial z
partial (r az)partial x = az partial rpartial x
partial (r ay)partial x = ay partial rpartial x
partial (r ax)partial y = ax partial rpartial y
Dependendo de como depende de , e , mas geralmente, se for a distância radial, , , etc., não serão zero, a menos que seja uma variável independente em cada direção, o que não é comum. Porém, se assumirmos que é uma coordenada radial em um sistema específico onde essas derivadas se anulam, então .

Passo 6

Vamos assumir que . Então, a força é conservativa.

Passo 7

Agora que sabemos que a força é conservativa, podemos encontrar a energia potencial F = -nabla U associada a ela. Sabemos que:
U = -integral F cdot dr
Então, para encontrar , precisamos integrar a força:

Passo 8

Substituindo U = -integral r a cdot dr :
U = -a cdot integral r , dr
Como U = -12 r^2 a + C é constante, a integral fica:
A integral de depende de como varia com , mas assumindo uma dependência linear, podemos integrar e obter:
Onde é a constante de integração, que podemos considerar zero se definirmos a energia potencial como zero na origem.

Resposta

A força é conservativa e a energia potencial associada é .

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