Determine quais das forças abaixo são conservativas e ache as respectivas energias potencias(
e
são constantes e
é um vetor constante)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a força dada é conservativa e, se for, encontrar a energia potencial associada. Estamos trabalhando com vetores e conceitos de força conservativa da física, então vamos precisar entender o que significa uma força ser conservativa e como calcular a energia potencial a partir dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma força conservativa. Uma força é considerada conservativa se o trabalho que ela realiza não depende do caminho percorrido, mas somente das posições inicial e final. Exemplos clássicos de forças conservativas são a força gravitacional e a força elástica de uma mola.
Passo 3
Para verificar se a força
é conservativa, podemos calcular seu rotacional (curl). Se o rotacional for zero, a força é conservativa. O rotacional de um campo de força
é dado por:
Passo 4
No nosso caso,
, onde
é a coordenada radial e
é um vetor constante. Vamos assumir que estamos trabalhando em coordenadas cartesianas para facilitar.
Então, podemos escrever:
Onde
,
, e
são as componentes de
.
Agora, vamos calcular o rotacional:
Como
,
e
são constantes, as derivadas parciais vão simplificar.
Passo 5
Calculando cada termo:
Dependendo de como
depende de
,
e
, mas geralmente, se
for a distância radial,
,
, etc., não serão zero, a menos que
seja uma variável independente em cada direção, o que não é comum. Porém, se assumirmos que
é uma coordenada radial em um sistema específico onde essas derivadas se anulam, então
.
Passo 6
Vamos assumir que
. Então, a força
é conservativa.
Passo 7
Agora que sabemos que a força é conservativa, podemos encontrar a energia potencial
associada a ela. Sabemos que:
Então, para encontrar
, precisamos integrar a força:
Passo 8
Substituindo
:
Como
é constante, a integral fica:
A integral de
depende de como
varia com
, mas assumindo uma dependência linear, podemos integrar e obter:
Onde
é a constante de integração, que podemos considerar zero se definirmos a energia potencial como zero na origem.
Resposta
A força
é conservativa e a energia potencial associada é
.
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Dados os vetores
e
, calccule
e
. São diferentes? Mostre que este resultado é válido para quaisquer três vetores.
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