Determine quais das forças abaixo são conservativas e ache as respectivas energias potencias( a e b são constantes e a é um vetor constante)
F=(a y) i+(a z) j+(a x) k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir quais das forças dadas são conservativas e, se forem, encontrar suas energias potenciais. A matéria envolvida aqui é a de dinâmica das partículas, especificamente sobre forças conservativas e energia potencial. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma força conservativa, como verificar se uma força é conservativa usando o rotacional, e como calcular a energia potencial associada a essas forças.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma força conservativa. Uma força é conservativa se o trabalho que ela realiza não depende do caminho percorrido, mas apenas da posição inicial e final. Isso significa que ela pode ser derivada de uma energia potencial. Exemplos clássicos são a força gravitacional e a força elétrica.

Passo 3

Para verificar se a força dada é conservativa, vamos calcular o rotacional dessa força. O rotacional de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é definido como:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z )i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x )j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y )k
Se o rotacional for zero em todos os pontos, a força é conservativa.

Passo 4

Vamos aplicar isso à força dada:
F = (a y) i + (a z) j + (a x) k
Calculando as derivadas parciais:
  • partial Fzpartial y = partial (a x)partial y = 0
  • partial Fypartial z = partial (a z)partial z = a
  • partial Fxpartial z = partial (a y)partial z = 0
  • partial Fzpartial x = partial (a x)partial x = a
  • partial Fypartial x = partial (a z)partial x = 0
  • partial Fxpartial y = partial (a y)partial y = a
Substituindo na fórmula do rotacional:
nabla times F = (0 - a)i + (0 - a)j + (0 - a)k = -a i - a j - a k

Passo 5

Como o rotacional de F não é zero (tem componentes iguais a -a), concluímos que a força F não é conservativa.

Passo 6

Já que a força F não é conservativa, ela não possui uma energia potencial associada. Portanto, não precisamos calcular a energia potencial para essa força.

Resposta

A força F = a y i + a z j + a x k não é conservativa, e, portanto, não possui energia potencial associada.

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