Determine quais das forças abaixo são conservativas e ache as respectivas energias potencias( e são constantes e é um vetor constante)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir quais das forças dadas são conservativas e, se forem, encontrar suas energias potenciais. A matéria envolvida aqui é a de dinâmica das partículas, especificamente sobre forças conservativas e energia potencial. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma força conservativa, como verificar se uma força é conservativa usando o rotacional, e como calcular a energia potencial associada a essas forças.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma força conservativa. Uma força é conservativa se o trabalho que ela realiza não depende do caminho percorrido, mas apenas da posição inicial e final. Isso significa que ela pode ser derivada de uma energia potencial. Exemplos clássicos são a força gravitacional e a força elétrica.

Passo 3

Para verificar se a força dada é conservativa, vamos calcular o rotacional dessa força. O rotacional de um campo vetorial é definido como:
Se o rotacional for zero em todos os pontos, a força é conservativa.

Passo 4

Vamos aplicar isso à força dada:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula do rotacional:

Passo 5

Como o rotacional de não é zero (tem componentes iguais a ), concluímos que a força não é conservativa.

Passo 6

Já que a força não é conservativa, ela não possui uma energia potencial associada. Portanto, não precisamos calcular a energia potencial para essa força.

Resposta

A força não é conservativa, e, portanto, não possui energia potencial associada.

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