Uma diferença de potencial V é aplicada a um fio de seção reta A, comprimento L e resistividade
. Estamos interessados em mudar a diferença de potencial aplicada e esticar o fio para que a potência dissipada seja multiplicada por 36 e a corrente seja multiplicada por 3. Supondo que a massa específica do fio permaneça a mesma, determine a razão entre a nova seção reta
e
. R: (a) L = 2L; (b)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente analise como mudar a diferença de potencial e esticar um fio para que a potência dissipada seja 36 vezes maior e a corrente seja 3 vezes maior. Estamos lidando com conceitos de Eletrodinâmica, especificamente resistência elétrica e potência. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas da resistência elétrica e da potência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a resistência elétrica $ R $ de um fio é dada por:
onde:
- $ \rho $ é a resistividade do material,
- $ L $ é o comprimento do fio,
- $ A $ é a área da seção transversal.
Passo 3
A potência $ P $ dissipada no fio é dada por:
Mas também podemos expressar a potência usando a resistência:
onde $ V $ é a diferença de potencial e $ I $ é a corrente elétrica.
Passo 4
Vamos estabelecer as relações para o estado inicial e o estado alterado:
- Estado Inicial:
- Estado Final:
Sabemos que $ P’ = 36P $ e $ I’ = 3I $.
Passo 5
Substituindo $ P’ $ e $ I’ $ na equação do estado final:
Simplificando:
Dividindo os dois lados por 9:
Passo 6
Comparando com a equação do estado inicial $ P = I^2 \cdot \rho \frac{L}{A} $, temos:
Portanto:
Passo 7
Como a massa específica do fio permanece a mesma, a massa inicial é igual à massa final:
Isso implica:
Daí:
Passo 8
Substituindo $ A’ $ na equação $ \frac{L’}{A’} = \frac{4L}{A} $:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por $ A \cdot L $:
Tomando a raiz quadrada:
Passo 9
Agora, usando $ A’ = \frac{A \cdot L}{L’} $ e sabendo que $ L’ = 2L $:
Resposta
(a) $ L’ = 2L $; (b) $ A’ = 0,5A $.