Verifique se a integral a seguir foi calculada corretamente usando derivadas, ou seja:
integral f(x) d x=F(x)+c rightarrow dd x(F(x)+c)=f(x)
Argumente, justificando o porquê a integração está correta ou incorreta, compare o resultado com a função integranda e faça uma conclusão.
integral x^-13-5x^2 d x=-34 x^43+5x+c

Passo 1

Beleza, vamos verificar se a integral que foi calculada está certa usando derivadas. A matéria aqui é cálculo integral e diferencial. Precisamos calcular a derivada da função que supostamente é a antiderivada (F(x)) e ver se ela dá a função original que está dentro da integral, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função que foi proposta como antiderivada:
F(x) = -34 x^43 + 5x + c
Para derivar, usamos a regra do poder. Lembre-se que a derivada de é .

Passo 3

Aplicando a regra do poder em cada termo:
  1. Para ddx ( -34 x^-43 ) = -34 cdot ( -43 ) x^-43 - 1 = 34 cdot 43 x^-73 = x^-73 : ddx ( 5x ) = 5 cdot ddx ( x^-1 ) = 5 cdot (-1) x^-2 = -5x^2
  2. Para ddx(c) = 0 :
  3. A constante tem derivada zero:

Passo 4

Juntando tudo, a derivada de ddxF(x) = x^-73 - 5x^2 é:
f(x) = x^-13 - 5x^2 = x^-73 - 5x^2
Comparando com a função original dentro da integral:
Vemos que as duas expressões são iguais.

Resposta

A integral foi calculada corretamente, pois a derivada da função obtida corresponde exatamente à função original. Portanto:
integral x^-13 - 5x^2 , dx = -34 x^43 + 5x + c

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