- Determine a função de distribuição da variável aleatória
, cuja densidade é dada pela expressão:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar a função de distribuição da variável aleatória
cuja função densidade é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade conjunta e integração dupla.
Passo 2
O primeiro passo é encontrar o valor da constante
. Sabemos que a integral da função densidade em toda a região deve ser igual a 1:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Passo 4
Agora, substituímos na integral externa:
Passo 5
Igualamos a integral a 1 para encontrar
:
Passo 6
Com o valor de
encontrado, a função densidade passa a ser:
Passo 7
Agora, vamos determinar a função de distribuição conjunta
, que é a probabilidade de
e
:
Passo 8
Resolvemos a integral considerando os diferentes casos para
:
- Se
, então:
- Se
, então:
Passo 9
Simplificando a expressão para o caso
:
Resposta
A função de distribuição conjunta é: