• Determine a função de distribuição da variável aleatória , cuja densidade é dada pela expressão: .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar a função de distribuição da variável aleatória cuja função densidade é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade conjunta e integração dupla.

Passo 2

O primeiro passo é encontrar o valor da constante . Sabemos que a integral da função densidade em toda a região deve ser igual a 1:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro:

Passo 4

Agora, substituímos na integral externa:

Passo 5

Igualamos a integral a 1 para encontrar :

Passo 6

Com o valor de encontrado, a função densidade passa a ser:

Passo 7

Agora, vamos determinar a função de distribuição conjunta , que é a probabilidade de e :

Passo 8

Resolvemos a integral considerando os diferentes casos para :
  1. Se , então:
  1. Se , então:

Passo 9

Simplificando a expressão para o caso :

Resposta

A função de distribuição conjunta é:

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  • A variável aleatória tem densidade no quadrado de vértices , e (-v,-v). Determine a densidades marginais e a função de distribuição de (X,Y).
  • Se a função de densidade da distribuição conjunta de X e Y é dada por
á
Determine:
a)
b)
c)
  • A função de distribuição acumulada de é igual a para e y , e ZERO em caso contrário. Determine a funcao de densidade e calcule .
  • Seja função de densidade . Determine a constante k e as densidades marginais de X e Y .