• Determine a função de distribuição da variável aleatória (X, Y), cuja densidade é dada pela expressão: f(x, y)=c 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar a função de distribuição da variável aleatória f(x, y) = c para 0 < x < 1 e 0 < y < x cuja função densidade é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade conjunta e integração dupla.

Passo 2

O primeiro passo é encontrar o valor da constante integral0^1 integral0^x c , dy , dx = 1 . Sabemos que a integral da função densidade em toda a região deve ser igual a 1:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^x c , dy = c cdot x

Passo 4

Agora, substituímos na integral externa:
integral0^1 c cdot x , dx = c cdot [ x^22 ]0^1 = c cdot 12

Passo 5

Igualamos a integral a 1 para encontrar c cdot 12 = 1 Rightarrow c = 2 :

Passo 6

Com o valor de f(x, y) = 2 para 0 < x < 1 e 0 < y < x encontrado, a função densidade passa a ser:

Passo 7

Agora, vamos determinar a função de distribuição conjunta F(x, y) = P(X <= x, Y <= y) = integral0^x integral0^min(y, u) 2 , dv , du , que é a probabilidade de e :

Passo 8

Resolvemos a integral considerando os diferentes casos para F(x, y) = integral0^x integral0^u 2 , dv , du = 2 cdot x^22 = x^2 :
  1. Se F(x, y) = integral0^y integral0^u 2 , dv , du + integraly^x integral0^y 2 , dv , du = y^2 + 2y(x - y) , então:
  1. Se , então:

Passo 9

Simplificando a expressão para o caso F(x, y) = 2xy - y^2 :

Resposta

A função de distribuição conjunta é:
F(x, y) = 2xy - y^2 & para 0 < y < x < 1, x^2 & para 0 < x <= y < 1

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