- A função de distribuição acumulada de
é igual a
para
e y
, e ZERO em caso contrário. Determine a funcao de densidade
e calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função de distribuição acumulada conjunta de duas variáveis aleatórias,
e
, que é dada por:
e zero caso contrário.
O que a gente precisa fazer aqui é primeiro encontrar a função de densidade conjunta
e depois calcular a probabilidade de
estar entre 1 e 3 e
entre 1 e 2, ou seja,
.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo de derivadas de funções de distribuição acumulada para achar a densidade, e depois integrar essa densidade nas faixas de
e
que a gente quer.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função de densidade conjunta
. A densidade é a derivada da função de distribuição acumulada em relação a ambas as variáveis. Então, a gente calcula:
Vamos derivar
em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Calculando a primeira derivada em relação a
:
Agora, derivamos essa expressão em relação a
:
Então, a função de densidade conjunta é:
Passo 4
Agora que temos a densidade conjunta, vamos calcular a probabilidade
. Isso significa que a gente precisa integrar a função de densidade
na região onde
vai de 1 a 3 e
vai de 1 a 2.
A integral dupla fica assim:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Passo 6
Calculando a última integral:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Podemos deixar dessa forma ou calcular aproximadamente os valores numéricos.
Resposta
A função de densidade conjunta é
para
e
. A probabilidade
é igual a
, aproximadamente
.
Exercícios relacionados
- Determine a função de distribuição da variável aleatória
, cuja densidade é dada pela expressão: .
- A variável aleatória
tem densidade no quadrado de vértices , e (-v,-v). Determine a densidades marginais e a função de distribuição de (X,Y).
- Seja função de densidade
. Determine a constante k e as densidades marginais de X e Y .
-
vetor aleatório ( ) é chamado de uniformemente distribuído em uma região do plano se, para alguma constante c, sua densidade conjunta é:
(a) Mostre que
área da região R. Suponha que (X, Y) seja uniformemente distribuído ao longo do quadrado centrado em
e com lados de comprimento 2 .
(b) Mostre que as marginais e
tambem sao uniformes.
©Qual é a probabilidade de que ( ) esteja contido no círculo de raio 1 centrado na origem? Isto é, determine
.
(b) Mostre que as marginais
©Qual é a probabilidade de que (