• A função de distribuição acumulada de (X, Y) é igual a (1-e^-x)(1-e^-y) para x>0 e y >0, e ZERO em caso contrário. Determine a funcao de densidade f(x, y) e calcule P(1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função de distribuição acumulada conjunta de duas variáveis aleatórias, F(x, y) = (1 - e^-x)(1 - e^-y) para x > 0 e y > 0, e , que é dada por:
e zero caso contrário.
O que a gente precisa fazer aqui é primeiro encontrar a função de densidade conjunta e depois calcular a probabilidade de estar entre 1 e 3 e entre 1 e 2, ou seja, .
Vamos precisar usar conceitos de cálculo de derivadas de funções de distribuição acumulada para achar a densidade, e depois integrar essa densidade nas faixas de e que a gente quer.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função de densidade conjunta f(x, y) = partial^2 F(x, y)partial x partial y . A densidade é a derivada da função de distribuição acumulada em relação a ambas as variáveis. Então, a gente calcula:
Vamos derivar em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Calculando a primeira derivada em relação a partial F(x, y)partial x = partialpartial x (1 - e^-x)(1 - e^-y) = e^-x (1 - e^-y) :
f(x, y) = partialpartial y ( e^-x (1 - e^-y) ) = e^-x cdot e^-y = e^-(x + y)
Agora, derivamos essa expressão em relação a f(x, y) = e^-(x + y) para x > 0 e y > 0 :
Então, a função de densidade conjunta é:

Passo 4

Agora que temos a densidade conjunta, vamos calcular a probabilidade P(1 < X < 3, 1 < Y < 2) = integral1^3 integral1^2 e^-(x + y) , dy , dx . Isso significa que a gente precisa integrar a função de densidade na região onde vai de 1 a 3 e vai de 1 a 2.
A integral dupla fica assim:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a integral1^2 e^-(x + y) , dy = e^-x integral1^2 e^-y , dy = e^-x [ -e^-y ]1^2 = e^-x ( -e^-2 + e^-1 ) = e^-x (e^-1 - e^-2) :
P = integral1^3 e^-x (e^-1 - e^-2) , dx = (e^-1 - e^-2) integral1^3 e^-x , dx
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:

Passo 6

Calculando a última integral:
integral1^3 e^-x , dx = [ -e^-x ]1^3 = -e^-3 + e^-1 = e^-1 - e^-3
Então, substituindo de volta:
P = (e^-1 - e^-2)(e^-1 - e^-3)

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
P = e^-1 cdot e^-1 - e^-1 cdot e^-3 - e^-2 cdot e^-1 + e^-2 cdot e^-3 = e^-2 - e^-4 - e^-3 + e^-5
Podemos deixar dessa forma ou calcular aproximadamente os valores numéricos.

Resposta

A função de densidade conjunta é para e . A probabilidade é igual a , aproximadamente .

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