• A função de distribuição acumulada de é igual a para e y , e ZERO em caso contrário. Determine a funcao de densidade e calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função de distribuição acumulada conjunta de duas variáveis aleatórias, e , que é dada por:
e zero caso contrário.
O que a gente precisa fazer aqui é primeiro encontrar a função de densidade conjunta e depois calcular a probabilidade de estar entre 1 e 3 e entre 1 e 2, ou seja, .
Vamos precisar usar conceitos de cálculo de derivadas de funções de distribuição acumulada para achar a densidade, e depois integrar essa densidade nas faixas de e que a gente quer.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função de densidade conjunta . A densidade é a derivada da função de distribuição acumulada em relação a ambas as variáveis. Então, a gente calcula:
Vamos derivar em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Calculando a primeira derivada em relação a :
Agora, derivamos essa expressão em relação a :
Então, a função de densidade conjunta é:

Passo 4

Agora que temos a densidade conjunta, vamos calcular a probabilidade . Isso significa que a gente precisa integrar a função de densidade na região onde vai de 1 a 3 e vai de 1 a 2.
A integral dupla fica assim:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:

Passo 6

Calculando a última integral:
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Podemos deixar dessa forma ou calcular aproximadamente os valores numéricos.

Resposta

A função de densidade conjunta é para e . A probabilidade é igual a , aproximadamente .

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á
(a) Mostre que área da região R. Suponha que (X, Y) seja uniformemente distribuído ao longo do quadrado centrado em e com lados de comprimento 2 .
(b) Mostre que as marginais e tambem sao uniformes.
©Qual é a probabilidade de que ( ) esteja contido no círculo de raio 1 centrado na origem? Isto é, determine .