- Seja função de densidade
. Determine a constante k e as densidades marginais de X e Y .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma função de densidade conjunta dada por
onde
e
. Nosso objetivo é encontrar a constante
que torna essa função uma verdadeira função de densidade e, em seguida, determinar as densidades marginais de
e
.
Passo 2
Para encontrar a constante
, precisamos garantir que a integral da função de densidade conjunta sobre todo o espaço seja igual a 1. Isso significa que:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 3
Primeiro, integramos em relação a
:
Vamos calcular a integral interna:
Aplicando os limites de integração
e
:
Então, a integral em relação a
resulta em
.
Passo 4
Agora, substituímos de volta na integral original para encontrar
:
Vamos calcular essa integral:
Aplicando os limites de integração
e
:
Então, temos:
Passo 5
Agora que temos o valor de
, vamos determinar as densidades marginais de
e
.
Primeiro, a densidade marginal de
,
, é obtida integrando
em relação a
:
Já que no passo anterior vimos que
.
Passo 6
Em seguida, a densidade marginal de
,
, é obtida integrando
em relação a
. Para isso, precisamos determinar os limites de integração para
em função de
.
Dado que
e
, para um valor fixo de
,
varia de
a
.
Então:
Vamos calcular essa integral:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Resposta
A constante
é igual a
. As densidades marginais são: