• Seja função de densidade f(x, y)=k x(x-y),-2. Determine a constante k e as densidades marginais de X e Y .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma função de densidade conjunta dada por onde e . Nosso objetivo é encontrar a constante que torna essa função uma verdadeira função de densidade e, em seguida, determinar as densidades marginais de e .

Passo 2

Para encontrar a constante integral-2^2 integral-x^x k cdot x(x - y) , dy , dx = 1 , precisamos garantir que a integral da função de densidade conjunta sobre todo o espaço seja igual a 1. Isso significa que:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 3

Primeiro, integramos em relação a integral-x^x x(x - y) , dy = x integral-x^x (x - y) , dy :
integral (x - y) , dy = x y - 12 y^2 + C
Vamos calcular a integral interna:
x(x) - 12x^2 - [x(-x) - 12(-x)^2] = x^2 - 12x^2 + x^2 - 12x^2 = 2x^2 - x^2 = x^2
Aplicando os limites de integração e :
Então, a integral em relação a resulta em .

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral original para encontrar k integral-2^2 x^2 , dx = 1 :
integral x^2 , dx = 13x^3 + C
Vamos calcular essa integral:
13(2)^3 - 13(-2)^3 = 83 - ( -83 ) = 163
Aplicando os limites de integração k cdot 163 = 1 implies k = 316 e :
Então, temos:

Passo 5

Agora que temos o valor de fX(x) = integral-x^x f(x, y) , dy = integral-x^x 316 cdot x(x - y) , dy = 316 cdot x^2 , vamos determinar as densidades marginais de e .
Primeiro, a densidade marginal de , , é obtida integrando em relação a :
Já que no passo anterior vimos que .

Passo 6

Em seguida, a densidade marginal de fY(y) = integral|y|^2 316 cdot x(x - y) , dx , 316 integral|y|^2 x^2 - x y , dx = 316 [ 13x^3 - y2x^2 ]|y|^2 , é obtida integrando 316 ( 83 - y2 cdot 4 - ( |y|^33 - y2 |y|^2 ) ) = 316 ( 83 - 2y - |y|^33 + y |y|^22 ) em relação a fY(y) = 316 ( 83 - 2y - |y|^33 + y |y|^22 ) . Para isso, precisamos determinar os limites de integração para em função de .
Dado que e , para um valor fixo de , varia de a .
Então:
Vamos calcular essa integral:
Substituindo os limites:
Simplificando:

Resposta

A constante fX(x) = 316 x^2, -2 < x < 2 é igual a fY(y) = 316 ( 83 - 2y - |y|^33 + y |y|^22 ), -2 < y < 2 . As densidades marginais são:

Exercícios relacionados