• Seja função de densidade . Determine a constante k e as densidades marginais de X e Y .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma função de densidade conjunta dada por onde e . Nosso objetivo é encontrar a constante que torna essa função uma verdadeira função de densidade e, em seguida, determinar as densidades marginais de e .

Passo 2

Para encontrar a constante , precisamos garantir que a integral da função de densidade conjunta sobre todo o espaço seja igual a 1. Isso significa que:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 3

Primeiro, integramos em relação a :
Vamos calcular a integral interna:
Aplicando os limites de integração e :
Então, a integral em relação a resulta em .

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral original para encontrar :
Vamos calcular essa integral:
Aplicando os limites de integração e :
Então, temos:

Passo 5

Agora que temos o valor de , vamos determinar as densidades marginais de e .
Primeiro, a densidade marginal de , , é obtida integrando em relação a :
Já que no passo anterior vimos que .

Passo 6

Em seguida, a densidade marginal de , , é obtida integrando em relação a . Para isso, precisamos determinar os limites de integração para em função de .
Dado que e , para um valor fixo de , varia de a .
Então:
Vamos calcular essa integral:
Substituindo os limites:
Simplificando:

Resposta

A constante é igual a . As densidades marginais são:

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á
(a) Mostre que área da região R. Suponha que (X, Y) seja uniformemente distribuído ao longo do quadrado centrado em e com lados de comprimento 2 .
(b) Mostre que as marginais e tambem sao uniformes.
©Qual é a probabilidade de que ( ) esteja contido no círculo de raio 1 centrado na origem? Isto é, determine .
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    Determine a constante c e as funções de densidade marginais.