- A variável aleatória
tem densidade
no quadrado de vértices
,
e (-v,-v). Determine a densidades marginais e a função de distribuição de (X,Y).
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória bidimensional
que possui uma densidade constante de
dentro de um quadrado com vértices em
,
,
e
. Nosso objetivo é encontrar:
- As densidades marginais de
e . - A função de distribuição conjunta de
.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de probabilidade, como densidade de probabilidade conjunta, densidades marginais e funções de distribuição. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que significa ter uma densidade constante dentro de um quadrado. A densidade de probabilidade conjunta
nos dá a probabilidade de
cair em uma região específica do plano. Como a densidade é constante e igual a
dentro do quadrado, isso indica que a distribuição é uniforme nessa área.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as densidades marginais de
e
. As densidades marginais são as densidades de probabilidade de cada variável individualmente, independentemente da outra. Para encontrar, por exemplo, a densidade marginal de
, denotada por
, precisamos integrar a densidade conjunta
em relação a
sobre todo o intervalo possível.
Matematicamente, isso fica assim:
Como
dentro do quadrado, temos:
Então, a densidade marginal de
é
. O mesmo raciocínio vale para
.
Passo 4
Agora que temos as densidades marginais, vamos resumir:
Fora desses intervalos, as densidades são zero, já que a densidade conjunta também é zero fora do quadrado.
Passo 5
Por último, vamos encontrar a função de distribuição conjunta,
. Essa função nos dá a probabilidade de que
e
. Para uma distribuição uniforme em um quadrado, a função de distribuição acumulada pode ser calculada como a área do retângulo limitado por
e
vezes a densidade.
Então, temos:
Como
dentro do quadrado, fica:
Isso vale para
e
. Fora desses limites, a função de distribuição acumulada será 0 ou 1, dependendo da posição.
Resposta
As densidades marginais são:
E a função de distribuição conjunta é:
Exercícios relacionados
- Se a função de densidade da distribuição conjunta de X e Y é dada por
Determine:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
- Se a função de densidade de Xe Y é dada por
Encontre a função de distribuição correspondente.
- Determine a função de distribuição da variável aleatória
, cuja densidade é dada pela expressão: .
- A função de distribuição acumulada de
é igual a para e y , e ZERO em caso contrário. Determine a funcao de densidade e calcule .