• A variável aleatória (X, Y) tem densidade 1 / 2 no quadrado de vértices (v, v), (v,-v),(-v, v) e (-v,-v). Determine a densidades marginais e a função de distribuição de (X,Y).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória bidimensional (X, Y) que possui uma densidade constante de 1/2 dentro de um quadrado com vértices em (v, v), (v, -v), (-v, v) e (-v, -v). Nosso objetivo é encontrar:
  1. As densidades marginais de X e Y.
  2. A função de distribuição conjunta de (X, Y).
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de probabilidade, como densidade de probabilidade conjunta, densidades marginais e funções de distribuição. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que significa ter uma densidade constante dentro de um quadrado. A densidade de probabilidade conjunta fX,Y(x,y) nos dá a probabilidade de (X, Y) cair em uma região específica do plano. Como a densidade é constante e igual a 1/2 dentro do quadrado, isso indica que a distribuição é uniforme nessa área.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as densidades marginais de X e Y. As densidades marginais são as densidades de probabilidade de cada variável individualmente, independentemente da outra. Para encontrar, por exemplo, a densidade marginal de X, denotada por fX(x), precisamos integrar a densidade conjunta fX,Y(x,y) em relação a y sobre todo o intervalo possível.
Matematicamente, isso fica assim:
fX(x) = integral-v^v fX,Y(x,y) , dy
Como fX,Y(x,y) = 12 dentro do quadrado, temos:
fX(x) = integral-v^v 12 , dy = 12 times (v - (-v)) = 12 times 2v = v
Então, a densidade marginal de X é v. O mesmo raciocínio vale para fY(y).

Passo 4

Agora que temos as densidades marginais, vamos resumir:
fX(x) = v para -v <= x <= v
fY(y) = v para -v <= y <= v
Fora desses intervalos, as densidades são zero, já que a densidade conjunta também é zero fora do quadrado.

Passo 5

Por último, vamos encontrar a função de distribuição conjunta, FX,Y(x,y). Essa função nos dá a probabilidade de que X <= x e Y <= y. Para uma distribuição uniforme em um quadrado, a função de distribuição acumulada pode ser calculada como a área do retângulo limitado por (-v, -v) e (x, y) vezes a densidade.
Então, temos:
FX,Y(x,y) = integral-v^x integral-v^y fX,Y(s,t) , dt , ds
Como fX,Y(s,t) = 12 dentro do quadrado, fica:
FX,Y(x,y) = 12 times (x + v) times (y + v)
Isso vale para -v <= x <= v e -v <= y <= v. Fora desses limites, a função de distribuição acumulada será 0 ou 1, dependendo da posição.

Resposta

As densidades marginais são:
fX(x) = v para -v <= x <= v
fY(y) = v para -v <= y <= v
E a função de distribuição conjunta é:
FX,Y(x,y) = 12 (x + v)(y + v) para -v <= x, y <= v

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