• A variável aleatória tem densidade no quadrado de vértices , e (-v,-v). Determine a densidades marginais e a função de distribuição de (X,Y).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória bidimensional que possui uma densidade constante de dentro de um quadrado com vértices em , , e . Nosso objetivo é encontrar:
  1. As densidades marginais de e .
  2. A função de distribuição conjunta de .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de probabilidade, como densidade de probabilidade conjunta, densidades marginais e funções de distribuição. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que significa ter uma densidade constante dentro de um quadrado. A densidade de probabilidade conjunta nos dá a probabilidade de cair em uma região específica do plano. Como a densidade é constante e igual a dentro do quadrado, isso indica que a distribuição é uniforme nessa área.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as densidades marginais de e . As densidades marginais são as densidades de probabilidade de cada variável individualmente, independentemente da outra. Para encontrar, por exemplo, a densidade marginal de , denotada por , precisamos integrar a densidade conjunta em relação a sobre todo o intervalo possível.
Matematicamente, isso fica assim:
Como dentro do quadrado, temos:
Então, a densidade marginal de é . O mesmo raciocínio vale para .

Passo 4

Agora que temos as densidades marginais, vamos resumir:
Fora desses intervalos, as densidades são zero, já que a densidade conjunta também é zero fora do quadrado.

Passo 5

Por último, vamos encontrar a função de distribuição conjunta, . Essa função nos dá a probabilidade de que e . Para uma distribuição uniforme em um quadrado, a função de distribuição acumulada pode ser calculada como a área do retângulo limitado por e vezes a densidade.
Então, temos:
Como dentro do quadrado, fica:
Isso vale para e . Fora desses limites, a função de distribuição acumulada será 0 ou 1, dependendo da posição.

Resposta

As densidades marginais são:
E a função de distribuição conjunta é:

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  • Se a função de densidade da distribuição conjunta de X e Y é dada por
á
Determine:
a)
b)
c)
  • Se a função de densidade de Xe Y é dada por
á
Encontre a função de distribuição correspondente.
  • Determine a função de distribuição da variável aleatória , cuja densidade é dada pela expressão: .
  • A função de distribuição acumulada de é igual a para e y , e ZERO em caso contrário. Determine a funcao de densidade e calcule .