- Se a função de densidade da distribuição conjunta de X e Y é dada por
Determine:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função de densidade conjunta para as variáveis aleatórias
e
. Nosso objetivo aqui é determinar três probabilidades diferentes usando essa função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade conjunta e integrais múltiplas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Parte a)
Primeiro, queremos encontrar a probabilidade de
ser menor ou igual a
e
também ser menor ou igual a
. Como temos uma distribuição conjunta, vamos integrar a função de densidade sobre a região onde essas condições são satisfeitas.
A função de densidade é:
Vamos identificar os limites de integração:
-
varia de 0 a - Para cada
, varia de 0 a
Mas como
, então
. Portanto,
varia de 0 a
.
Agora, configuramos a integral dupla:
Passo 3
Vamos resolver a integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, substituímos de volta na integral:
Então,
Passo 4
Parte b)
Aqui, queremos a probabilidade de que a soma de
e
seja maior que
. Vamos visualizar isso no plano
. A região de interesse é onde
, dentro das condições da função de densidade.
Primeiro, identificamos os limites de integração:
-
varia de 0 a 1 (mas com ) - Para cada
, varia de a
Mas como
e
, efetivamente
vai de
a
.
A integral fica:
No entanto, para simplificar, podemos perceber que a região onde
e
é um trapezoide. Calculando a área dessa região e multiplicando pela densidade 2, teremos a probabilidade.
Vamos calcular a integral:
Integrando em relação a
:
Então,
Calculando os limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 5
Parte c)
Queremos a probabilidade de que
seja maior que o dobro de
. Vamos identificar a região onde isso ocorre dentro das condições da função de densidade.
A condição
pode ser reescrita como
.
Vamos estabelecer os limites de integração:
-
varia de 0 a 1 - Para cada
, varia de 0 a
A integral fica:
Vamos dividir em dois casos:
- Quando
: Isso ocorre quando - Quando
: Quando
Então,
Resolvendo cada parte:
Primeira integral:
Segunda integral:
Somando as duas partes:
Resposta
a)
b)
c)
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