• Se a função de densidade da distribuição conjunta de X e Y é dada por
á
Determine:
a)
b)
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função de densidade conjunta para as variáveis aleatórias e . Nosso objetivo aqui é determinar três probabilidades diferentes usando essa função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade conjunta e integrais múltiplas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte a)
Primeiro, queremos encontrar a probabilidade de ser menor ou igual a e também ser menor ou igual a . Como temos uma distribuição conjunta, vamos integrar a função de densidade sobre a região onde essas condições são satisfeitas.
A função de densidade é:
á
Vamos identificar os limites de integração:
  • varia de 0 a
  • Para cada , varia de 0 a
Mas como , então . Portanto, varia de 0 a .
Agora, configuramos a integral dupla:

Passo 3

Vamos resolver a integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, substituímos de volta na integral:
Então,

Passo 4

Parte b)
Aqui, queremos a probabilidade de que a soma de e seja maior que . Vamos visualizar isso no plano . A região de interesse é onde , dentro das condições da função de densidade.
Primeiro, identificamos os limites de integração:
  • varia de 0 a 1 (mas com )
  • Para cada , varia de a
Mas como e , efetivamente vai de a .
A integral fica:
No entanto, para simplificar, podemos perceber que a região onde e é um trapezoide. Calculando a área dessa região e multiplicando pela densidade 2, teremos a probabilidade.
Vamos calcular a integral:
Integrando em relação a :
Então,
Calculando os limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Passo 5

Parte c)
Queremos a probabilidade de que seja maior que o dobro de . Vamos identificar a região onde isso ocorre dentro das condições da função de densidade.
A condição pode ser reescrita como .
Vamos estabelecer os limites de integração:
  • varia de 0 a 1
  • Para cada , varia de 0 a
A integral fica:
Vamos dividir em dois casos:
  1. Quando : Isso ocorre quando
  2. Quando : Quando
Então,
Resolvendo cada parte:
Primeira integral:
Segunda integral:
Somando as duas partes:

Resposta

a)
b)
c)

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á
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