• Se a função de densidade da distribuição conjunta de X e Y é dada por
f(x, y)=lc 2 & x>0,0á
Determine:
a) P(X <= 12 ; Y <= 12)
b) P(X+Y>23)
c) P(X>2 Y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função de densidade conjunta para as variáveis aleatórias e . Nosso objetivo aqui é determinar três probabilidades diferentes usando essa função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade conjunta e integrais múltiplas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte a) f(x, y) = 2 & se x > 0,, 0 < y < 1,, x + y < 1 0 & caso contrário
Primeiro, queremos encontrar a probabilidade de P(X <= 12; Y <= 12) = integral0^12 integral0^12 2 , dy , dx ser menor ou igual a e também ser menor ou igual a . Como temos uma distribuição conjunta, vamos integrar a função de densidade sobre a região onde essas condições são satisfeitas.
A função de densidade é:
á
Vamos identificar os limites de integração:
  • varia de 0 a
  • Para cada , varia de 0 a
Mas como , então . Portanto, varia de 0 a .
Agora, configuramos a integral dupla:

Passo 3

Vamos resolver a integral:
integral0^12 integral0^12 2 , dy , dx = 2 integral0^12 ( integral0^12 dy ) dx
Primeiro, integramos em relação a integral0^12 dy = [ y ]0^12 = 12 :
2 integral0^12 12 , dx = 2 cdot 12 integral0^12 dx = integral0^12 dx = [ x ]0^12 = 12
Agora, substituímos de volta na integral:
P(X <= 12; Y <= 12) = 12
Então,

Passo 4

Parte b) P(X + Y > 23) = integral0^13 integral23 - x^1 - x 2 , dy , dx + integral13^1 integral23 - x^1 - x 2 , dy , dx
Aqui, queremos a probabilidade de que a soma de P = 2 integral23^1 integral0^1 - y dx , dy e integral0^1 - y dx = 1 - y seja maior que P = 2 integral23^1 (1 - y) , dy = 2 [ y - y^22 ]23^1 . Vamos visualizar isso no plano 1 - 12 = 12 . A região de interesse é onde 23 - (23)^22 = 23 - 418 = 23 - 29 = 49 , dentro das condições da função de densidade.
Primeiro, identificamos os limites de integração:
  • 2 ( 12 - 49 ) = 2 ( 918 - 818 ) = 2 cdot 118 = 218 = 19 varia de 0 a 1 (mas com )
  • Para cada , varia de a
Mas como e , efetivamente vai de a .
A integral fica:
No entanto, para simplificar, podemos perceber que a região onde e é um trapezoide. Calculando a área dessa região e multiplicando pela densidade 2, teremos a probabilidade.
Vamos calcular a integral:
Integrando em relação a :
Então,
Calculando os limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Passo 5

Parte c) P(X > 2Y) = integral0^1 integral0^min(x2, 1 - x) 2 , dy , dx
Queremos a probabilidade de que P = 2 [ integral0^23 integral0^x2 dy , dx + integral23^1 integral0^1 - x dy , dx ] seja maior que o dobro de integral0^23 x2 , dx = 12 [ x^22 ]0^23 = 14 ( 49 ) = 19 . Vamos identificar a região onde isso ocorre dentro das condições da função de densidade.
A condição integral23^1 (1 - x) , dx = [ x - x^22 ]23^1 = (1 - 12) - (23 - 418) = 12 - (23 - 29) = 12 - 49 = 118 pode ser reescrita como P = 2 ( 19 + 118 ) = 2 cdot 16 = 13 .
Vamos estabelecer os limites de integração:
  • varia de 0 a 1
  • Para cada , varia de 0 a
A integral fica:
Vamos dividir em dois casos:
  1. Quando : Isso ocorre quando
  2. Quando : Quando
Então,
Resolvendo cada parte:
Primeira integral:
Segunda integral:
Somando as duas partes:

Resposta

a)
b)
c)

Exercícios relacionados