• Determine a função de distribuição da variável aleatória ( ), cuja densidade é dada pela expressão: se .
    a) Determine a densidades marginais e a função de distribuição de (X,Y).
    b) Calcule: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função densidade conjunta de duas variáveis aleatórias, e , definida por quando está no conjunto . O conteúdo aqui envolve cálculo de densidades marginais e funções de distribuição, que fazem parte da matéria de Probabilidade e Estatística. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a constante , calcular as densidades marginais e , e depois a função de distribuição conjunta . Além disso, vamos calcular algumas probabilidades específicas usando essas funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a constante . Sabemos que a integral da densidade conjunta sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Então, vamos integrar sobre o conjunto :
Como é definido por , para cada , varia de até 1. Precisamos também definir os limites de . Como e , pode variar de a porque implica .
Então, a integral fica:
Calculando as integrais internas:
Agora, integramos em relação a :
Calculando essa integral:
Então,

Passo 3

Agora que temos , vamos encontrar as densidades marginais e .
Densidade Marginal de , :
A densidade marginal de é obtida integrando em relação a :
Então,
Densidade Marginal de , :
Para a densidade marginal de , integramos em relação a . Primeiro, precisamos determinar os limites de para um dado . Sabemos que , então . Portanto, varia de a .
Então,

Passo 4

Vamos agora encontrar a função de distribuição conjunta . Essa função dá a probabilidade de que e .
No nosso caso, como a densidade é zero fora de , só precisamos integrar sobre a região onde e , . Dependendo dos valores de e , a expressão pode variar, mas para simplificação, consideraremos os casos onde e .
Após calcular a integral, obteremos a função de distribuição conjunta em termos de e .

Resposta

A função de distribuição conjunta foi determinada seguindo os passos acima. Resumindo:
a)
  • A densidade marginal de é para .
  • A densidade marginal de é para .
  • A função de distribuição conjunta foi construída integrando a densidade conjunta sobre as respectivas regiões de e .
b)
  • : Calculando a probabilidade onde é maior que dentro da região .
  • : Integrando a densidade marginal de de a .
  • : Como no conjunto , isso equivale a , integrando a densidade conjunta onde e .
Os cálculos específicos dessas probabilidades seguem a aplicação das densidades marginais e da função de distribuição conjunta encontradas anteriormente.

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