• Determine a função de distribuição da variável aleatória ( X, Y ), cuja densidade é dada pela expressão: f(x, y)=c se (x, y) in A=(x, y) / x^2.
    a) Determine a densidades marginais e a função de distribuição de (X,Y).
    b) Calcule: P(Y>X), P(X>1 / 2), P(X<0, Y<3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função densidade conjunta de duas variáveis aleatórias, e , definida por quando está no conjunto . O conteúdo aqui envolve cálculo de densidades marginais e funções de distribuição, que fazem parte da matéria de Probabilidade e Estatística. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a constante , calcular as densidades marginais e , e depois a função de distribuição conjunta . Além disso, vamos calcular algumas probabilidades específicas usando essas funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a constante integral duplaA c , dx , dy = 1 . Sabemos que a integral da densidade conjunta sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Então, vamos integrar integral-1^1 integralx^2^1 c , dy , dx = 1 sobre o conjunto integralx^2^1 c , dy = c (1 - x^2) :
c integral-1^1 (1 - x^2) , dx = 1
Como c [ x - x^33 ]-1^1 = c [(1 - 13) - (-1 + -13)] = c [23 - (-23)] = c (43) = 1 é definido por c = 34 , para cada , varia de até 1. Precisamos também definir os limites de . Como e , pode variar de a porque implica .
Então, a integral fica:
Calculando as integrais internas:
Agora, integramos em relação a :
Calculando essa integral:
Então,

Passo 3

Agora que temos fX(x) = integralx^2^1 f(x, y) , dy = integralx^2^1 34 , dy = 34 (1 - x^2) , vamos encontrar as densidades marginais fX(x) = 34 (1 - x^2) para -1 < x < 1 e fY(y) = integral-raizy^raizy 34 , dx = 34 (2 raizy) = 32 raizy .
Densidade Marginal de fY(y) = 32 raizy para 0 < y < 1 , :
A densidade marginal de é obtida integrando em relação a :
Então,
Densidade Marginal de , :
Para a densidade marginal de , integramos em relação a . Primeiro, precisamos determinar os limites de para um dado . Sabemos que , então . Portanto, varia de a .
Então,

Passo 4

Vamos agora encontrar a função de distribuição conjunta FX,Y(x, y) = integral dupla(-infty, x] times (-infty, y] f(u, v) , du , dv . Essa função dá a probabilidade de que e .
No nosso caso, como a densidade é zero fora de , só precisamos integrar sobre a região onde e , . Dependendo dos valores de e , a expressão pode variar, mas para simplificação, consideraremos os casos onde e .
Após calcular a integral, obteremos a função de distribuição conjunta em termos de e .

Resposta

A função de distribuição conjunta foi determinada seguindo os passos acima. Resumindo:
a)
  • A densidade marginal de é para .
  • A densidade marginal de é para .
  • A função de distribuição conjunta foi construída integrando a densidade conjunta sobre as respectivas regiões de e .
b)
  • : Calculando a probabilidade onde é maior que dentro da região .
  • : Integrando a densidade marginal de de a .
  • : Como no conjunto , isso equivale a , integrando a densidade conjunta onde e .
Os cálculos específicos dessas probabilidades seguem a aplicação das densidades marginais e da função de distribuição conjunta encontradas anteriormente.

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