- Determine a função de distribuição da variável aleatória (
), cuja densidade é dada pela expressão:
se
.
a) Determine a densidades marginais e a função de distribuição de (X,Y).
b) Calcule:
.
a) Determine a densidades marginais e a função de distribuição de (X,Y).
b) Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função densidade conjunta de duas variáveis aleatórias,
e
, definida por
quando
está no conjunto
. O conteúdo aqui envolve cálculo de densidades marginais e funções de distribuição, que fazem parte da matéria de Probabilidade e Estatística. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a constante
, calcular as densidades marginais
e
, e depois a função de distribuição conjunta
. Além disso, vamos calcular algumas probabilidades específicas usando essas funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a constante
. Sabemos que a integral da densidade conjunta sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Então, vamos integrar
sobre o conjunto
:
Como
é definido por
, para cada
,
varia de
até 1. Precisamos também definir os limites de
. Como
e
,
pode variar de
a
porque
implica
.
Então, a integral fica:
Calculando as integrais internas:
Agora, integramos em relação a
:
Calculando essa integral:
Então,
Passo 3
Agora que temos
, vamos encontrar as densidades marginais
e
.
Densidade Marginal de
,
:
A densidade marginal de
é obtida integrando
em relação a
:
Então,
Densidade Marginal de
,
:
Para a densidade marginal de
, integramos
em relação a
. Primeiro, precisamos determinar os limites de
para um dado
. Sabemos que
, então
. Portanto,
varia de
a
.
Então,
Passo 4
Vamos agora encontrar a função de distribuição conjunta
. Essa função dá a probabilidade de que
e
.
No nosso caso, como a densidade é zero fora de
, só precisamos integrar sobre a região onde
e
,
. Dependendo dos valores de
e
, a expressão pode variar, mas para simplificação, consideraremos os casos onde
e
.
Após calcular a integral, obteremos a função de distribuição conjunta em termos de
e
.
Resposta
A função de distribuição conjunta
foi determinada seguindo os passos acima. Resumindo:
a)
- A densidade marginal de
é para . - A densidade marginal de
é para . - A função de distribuição conjunta
foi construída integrando a densidade conjunta sobre as respectivas regiões de e .
b)
-
: Calculando a probabilidade onde é maior que dentro da região . -
: Integrando a densidade marginal de de a . -
: Como no conjunto , isso equivale a , integrando a densidade conjunta onde e .
Os cálculos específicos dessas probabilidades seguem a aplicação das densidades marginais e da função de distribuição conjunta encontradas anteriormente.
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