• A variável aleatória ( X, Y ) possui densidade constante distribuída em um círculo de raio r , centrado na origem. Obtenha a função de densidade das variáveis aleatórias marginais de X e Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a função de densidade das variáveis marginais e , sabendo que tem uma densidade constante distribuída em um círculo de raio centrado na origem. Vamos usar conceitos de probabilidade contínua e integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa ter uma densidade constante em um círculo. Isso quer dizer que a probabilidade está distribuída igualmente em todo o círculo. A área desse círculo é , então a densidade conjunta é igual a dentro do círculo e zero fora dele. Isso porque a integral da densidade sobre todo o espaço deve ser igual a 1.

Passo 3

Para encontrar a função de densidade marginal de fX(x) = integral-raizr^2 - x^2^raizr^2 - x^2 fX,Y(x,y) , dy , chamada , precisamos integrar a densidade conjunta em relação a . Ou seja:
Aqui, os limites de integração para vão de até porque, para cada valor de , deve satisfazer a equação do círculo .

Passo 4

Substituindo a densidade conjunta na integral, temos:
fX(x) = integral-raizr^2 - x^2^raizr^2 - x^2 1pi r^2 , dy
Como fX(x) = 1pi r^2 times ( 2raizr^2 - x^2 ) é constante em relação a , a integral simplifica para:

Passo 5

Simplificando a expressão, obtemos a função de densidade marginal de fX(x) = 2raizr^2 - x^2pi r^2 :
fY(y) = 2raizr^2 - y^2pi r^2
De forma semelhante, pela simetria do círculo, a função de densidade marginal de , , será a mesma:

Resposta

A função de densidade das variáveis marginais é:
fX(x) = fY(y) = 2raizr^2 - x^2pi r^2 para |x| <= r

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