- A variável aleatória (
) possui densidade constante distribuída em um círculo de raio r , centrado na origem. Obtenha a função de densidade das variáveis aleatórias marginais de X e Y.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a função de densidade das variáveis marginais
e
, sabendo que
tem uma densidade constante distribuída em um círculo de raio
centrado na origem. Vamos usar conceitos de probabilidade contínua e integração para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa ter uma densidade constante em um círculo. Isso quer dizer que a probabilidade está distribuída igualmente em todo o círculo. A área desse círculo é
, então a densidade conjunta
é igual a
dentro do círculo e zero fora dele. Isso porque a integral da densidade sobre todo o espaço deve ser igual a 1.
Passo 3
Para encontrar a função de densidade marginal de
, chamada
, precisamos integrar a densidade conjunta
em relação a
. Ou seja:
Aqui, os limites de integração para
vão de
até
porque, para cada valor de
,
deve satisfazer a equação do círculo
.
Passo 4
Substituindo a densidade conjunta na integral, temos:
Como
é constante em relação a
, a integral simplifica para:
Passo 5
Simplificando a expressão, obtemos a função de densidade marginal de
:
De forma semelhante, pela simetria do círculo, a função de densidade marginal de
,
, será a mesma:
Resposta
A função de densidade das variáveis marginais é:
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